Этот знак √ - называется радикал.
Когда нужно упростить выражения содержащие радикал под радикалом, зачастую нужно выделить полный квадрат. Так как по формуле √(а²)=|a|
полный квадрат:
![(a^+_-b)^2=a^2^+_-2ab+b^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28a%5E%2B_-b%29%5E2%3Da%5E2%5E%2B_-2ab%2Bb%5E2)
![a) \ \sqrt{7-4 \sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=a%29+%5C++%5Csqrt%7B7-4+%5Csqrt%7B3%7D+%7D+)
для того чтобы выделить полный квадрат, смотрим на выражение с внутренним радикалом:
![-4 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=-4+%5Csqrt%7B3%7D)
это наше удвоенное произведение, то есть: -2ab
перепишем выражение так :
![-2*2 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=-2%2A2+%5Csqrt%7B3%7D)
Первую двойку не трогаем, т.к. она должна быть по формуле.
Теперь
![ab=2 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=ab%3D2+%5Csqrt%7B3%7D+)
, а
![a^2+b^2=7](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2Bb%5E2%3D7)
Можно решить эту систему (но это долго!), поэтому просто подбираем наши числа:
к примеру, первое число 2, а второе √3, тогда 2²+(√3)²=4+3=7, подходит
Собираем полный квадрат:
![\ \sqrt{7-4 \sqrt{3} }= \sqrt{(2- \sqrt{3})^2 } =|2- \sqrt{3} |](https://tex.z-dn.net/?f=%5C+%5Csqrt%7B7-4+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%3D+%5Csqrt%7B%282-+%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2+%7D+%3D%7C2-+%5Csqrt%7B3%7D+%7C+)
2>√3, значит 2-√3>0, то есть модуль можно опустить.
![|2- \sqrt{3} |=2- \sqrt{3} \ \ - OTBET](https://tex.z-dn.net/?f=%7C2-+%5Csqrt%7B3%7D+%7C%3D2-+%5Csqrt%7B3%7D+%5C+%5C+-+OTBET)
б)
![\ \sqrt{3+2 \sqrt{2} } = \sqrt{3+2* \sqrt{2} } = \sqrt{(1+ \sqrt{2})^2 } =|1+ \sqrt{2} |=1+ \sqrt{2} \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5C++%5Csqrt%7B3%2B2+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B3%2B2%2A+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B%281%2B+%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2+%7D+%3D%7C1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7C%3D1%2B+%5Csqrt%7B2%7D++%5C%5C++%5C%5C+)
в)
![\ \ \sqrt{8-6 \sqrt{5} } \\ \\ 8-6 \sqrt{5} \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5C++%5C+%5Csqrt%7B8-6+%5Csqrt%7B5%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C+8-6+%5Csqrt%7B5%7D+%5C+%5Ctextless+%5C+0)
Значит выражение не имеет смысла, так как корня из отрицательного числа не существует (в действительных числах)
г)
![\ \sqrt{10+ 4\sqrt{6} } = \sqrt{10+ 2*2\sqrt{6} } = \sqrt{(2+ \sqrt{6})^2 } =|2+ \sqrt{6} |=2+ \sqrt{6}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C++%5Csqrt%7B10%2B+4%5Csqrt%7B6%7D+%7D+%3D++%5Csqrt%7B10%2B+2%2A2%5Csqrt%7B6%7D+%7D+%3D++%5Csqrt%7B%282%2B+%5Csqrt%7B6%7D%29%5E2+%7D+%3D%7C2%2B+%5Csqrt%7B6%7D+%7C%3D2%2B+%5Csqrt%7B6%7D+)
д)
![\ \sqrt{61-28 \sqrt{3} } = \sqrt{61-2*14 \sqrt{3} } = \sqrt{(2 \sqrt{3}-7)^2 } =|2 \sqrt{3}-7|=7-2 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C++%5Csqrt%7B61-28+%5Csqrt%7B3%7D+%7D+%3D++%5Csqrt%7B61-2%2A14+%5Csqrt%7B3%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B%282+%5Csqrt%7B3%7D-7%29%5E2+%7D+%3D%7C2+%5Csqrt%7B3%7D-7%7C%3D7-2+%5Csqrt%7B3%7D++)
![e) \ \sqrt{43+30 \sqrt{2} } =\sqrt{43+2*15 \sqrt{2} } = \sqrt{(5+3 \sqrt{2})^2} =|5+3 \sqrt{2} |= \\ =5+3 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=e%29+%5C++%5Csqrt%7B43%2B30+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%3D%5Csqrt%7B43%2B2%2A15+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B%285%2B3+%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2%7D+%3D%7C5%2B3+%5Csqrt%7B2%7D+%7C%3D+%5C%5C+%3D5%2B3+%5Csqrt%7B2%7D+)