Люди, присутствующие на похоронах и поминках и получившие "на память" или в порядке "обязательной" раздачи какие-то предметы (текстильные изделия, чашки, тарелки и прочее), вовсе не обязаны хранить это у себя дома или пользоваться этим.
Вполне можно отдать кому-то платок или полотенце, ничего страшного в этом нет.
Лучше, конечно, не говорить о том, что предмет "с похорон" тому, кому дарите, вдруг человеку станет неприятно и он не сможет им пользоваться. Просто платок.
Тем, от кого получен предмет, тоже не стоит рассказывать об этом моменте.
Все это на уровне эмоций, чувств, поэтому надо действовать деликатно.
А вот выбрасывать... Мне кажется, лучше этого не делать. Если некому подарить, то отдать в церковь или на пункт сбора вещей для малоимущих, бродяжничающих и других нуждающихся. Кому-то платок может очень пригодиться.