Разница между словами есть, но не в значении, а в стиле и области применения.
Если посмотреть в словарь, то можно увидеть: возбраняться - это запрещаться, но с пометкой трад.-нар. и обычно с отрицанием.
Реально это выражение часто применяется в художественных текстах для красочности стиля или в публицистических для выражения иронии.
Никому не возбраняется - обычное сочетание. Не возбраняется торговаться, особенно на восточных рынках. Не возбраняется зайти в здание-памятник архитектуры и полюбоваться его интерьером. Даже умеренное употребление алкоголя по праздникам прихожанам не возбраняется. А вот чиновникам не возбраняется разрабатывать социальные программы, вот только средства на их реализацию сложно найти (ирония, обычная для газетного стиля).
У слова "возбраняться" интересная история и много родственных слов в современном языке.
Он происходит от ст.-сл. "бранити" - защищать, брань здесь - защита, а исходный глагол borti - бороться. Переход значений понятен: оборонять, не разрешать, запрещать.
Родственные слова: бороться, борьба, забор, оборона, поле брани (сражения), броня, брань как ругань (в борьбе принято ругать противника).
В орфографии следует учитывать чередование ОРО/РА: оборона - брань.
