Question

Доказать что не имеет целочисленных решени уравнение y2=3x+5 и уравнение x2=y2+1998

Answer 1

1) y^2=3x+5 x  y целые
1)Предположим что  целые решения существуют.
Пусть y при делении  на 3. дает  остаток  i  (|i|<=3  тк остаток  не превышает модуля  делителя.
(3*n+i)^2=3x+5
9*n^2+6*n*i+i^2=3x+5
9*n^2+6*n*i-3x=5-i^2
откуда  число  5-i^2  должно делится на  3
возможно i=+-1;+-2;+-3
5-i^2=4 , 1 , -4  то  есть  не может делится  на 3. А  значит
мы  пришли к противоречию целых решений нет.
2)Положим что существуют.
 x^2-y^2=1998
 (x-y)(x+y)=1998   тогда x-y и x+y тоже целые числа  
1998  не делится  на 4. А  значит  оба числа x-y и x+y  не могут  быть четными. Раз 1998  четное. То  один  из множителей четный  другой  нет.
То  сумма  чисел x-y и x+y  число  не четное но x-y+x+y=2y -четное то  мы пришли к противоречию. Целых  решений нет.