Question

Даны две арифметические прогрессии: 1, 6,...,101 и –10, 1, ... , 144. Найдите количество одинаковых членов двух прогрессий

Answer 1

$d_{1} =6-1=5 \\ d_{2} =1-(-10)=11 \\ N_{1} =(101-1)/5+1=21 \\ N_{2} =(144-(-10))/11 +1=15 \\ a(k_{1}) =1+5(k_{1}-1) \\ a(k_{2}) =-10+11(k_{2}-1) \\ a(k_{1}) =a(k_{2}) \\ 1+5(k_{1}-1)=-10+11(k_{2}-1) \\ 11+5(k_{1}-1)=11(k_{2}-1) \\ 11(k_{2}-1)=11+5(k_{1}-1) \\ k_{2}-1=1+ \frac{5(k_{1}-1)}{11} \\ k_{2}=2+ \frac{5(k_{1}-1)}{11}$

$(k_{1}-1)$ должно делиться на 11

$k_{1}=12 \\ k_{2}=7$

следующее число
$k_{1}=23$ не подходит, т.к. больше номера последнего член первой последовательности $N_{1} =21$

Ответ: количество одинаковых членов двух прогрессий = 2 
номер в первой прогрессии 12 
номер во второй прогрессии 7

Answer 2

Первый способ:
Выпишем все члены данных прогрессий:
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66  71 76 81 86 91 96 101
-10 1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 
Всего 2 одинаковых.

Второй способ:
Зададим аналитически прогрессии и приравняем
$d_1 = 6 - 1 = 5 \\ d_2 = 1 - 10 = 11 \\ a_{n_{1}} = a_1 + d_1(n - 1) =1 + 5(n - 1) = 1 + 5n - 5 = 5n - 4 \\ a_{n_{2}} = a_1 + d_2(n - 1) = -10 + 11(n - 1) = -10 + 11n - 11 = 11n - 21 \\ 5n - 4 = 11n - 21 \\ 5n - 11n = -21 + 4 \\ -6n = -17 \\ n = 2$
(n не может быть равно 3, т.к. до 3 не хватает ещё нескольких членов).