<span><em>Дан треугольник ABC. <u>Найти на стороне AC точку D</u> такую, чтобы периметр треугольника АВD был равен стороне BC.</em>
_________
Остроугольный треугольник, прямоугольный или тупоугольный - <em>следует учесть зависимость между длинами сторон треугольника, т.е. неравенство треугольника. </em>
Решение возможно при условии, что <em>длина ВС больше, чем 2 АВ</em>.
АВ< AD+BD; АВ=ВМ<MC (см. рисунок).
<u>Решение</u>:
На ВС отложим ВМ= АВ
Тогда, поскольку периметр ∆ АВD должен быть равен ВС,
в ∆ АВD сумма АD+DB должно быть равна ВС-АВ, т.е. МС.
Отложим от А отрезок АК, равный МС.
Соединим К и В.
Проведем срединный перпендикуляр отрезка ВК до пересечения с АС в точке D. Он будет высотой и медианой ∆ BDK. </span>⇒
<em><u>∆ BDK- равнобедренный</u></em>, и BD=KD
AD+DK=BC; AD+DK=AK⇒
Периметр ∆ ABD=BC.
Решено.
1) AF=BF(CF-медиана) -> BC+BF=25 cм
2)BC=1,5 BF(по условию) -> 1,5 BF + BF= 25 см
2,5 BF= 25 см
BF = 25/2,5 =10 см
3)BC + BF= 25 см
BC=AC=25-BF=25-10=15 см( треугольник равнобедренный)
AB=2 BF=20 см (CF-медиана)
Ответ:
AB=20 см
AC=CB=15 см
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Продлим биссектрису AN до пересечения с прямой ВС.
∠1 = ∠2 так как AN биссектриса,
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей AK, ⇒
∠1 = ∠3, ⇒ ΔАВК равнобедренный:
АВ = ВК = 9.
СК = ВК - ВС = 9 - 5 = 4
ΔAND подобен ΔКNC по двум углам (∠2 = ∠3 и углы при вершине N равны как вертикальные).
Обозначим NC - x, тогда DN - (9 - x),
Составим пропорцию:
AD : CK = DN : CN
5 : 4 = (9 - x) : x
5x = 36 - 4x
9x = 36
x = 4
CN = 4