Слово "царевич" представляет собой существительное мужского рода в единственном числе. А для того чтобы определиться с постановкой мягкого знака после шипящего согласного "ч", нам придется вспомнить правило.
Правилом установлено, что в существительных женского рода с шипящей на конце мягкий знак пишется, а в существительных мужского - нет. Отсюда следует, что в нашем существительном мужского рода "царевич" мягкий знак после шипящего согласного "ч" проставлять не нужно.
Кстати, существительные мужского рода: "плащ", "борщ", "ландыш", "меч", "ключ", "врач", "шалаш" тоже пишутся без "ь" после шипящих согласных.
Чтобы выяснить, какую букву следует писать после "ц" в слове "цирюльник", вспомним правило русского языка, гласящее, что практически всегда пишется буква "и", кроме слов-исключений и окончаний вроде слов "огурцы", "творцы", молодцы", "лисицын", "сестрицын" и пр.
Слово "цирюльник" к таковым не относится, поэтому без сомнений пишем букву "и": "ЦИРЮЛЬНИК".
Широкую известность получила опера итальянца Дж.Россини "Севильский цирюльник".
Слово "проигрыш" пишется без мягкого знака на конце, так как это существительное мужского рода второго склонения. А правило такое - в существительных мужского рода второго склонения после шипящих мягкий знак не пишется (он пишется в существительных женского рода третьего склонения).
Правило следующее - раздельно пишутся наречия и наречные сочетания, образованные от существительных, в состав которых входят предлоги "без", "до", "с", "со", "под", "за".
Рассмотрим слово "с панталыку". Это наречие, так как отвечает на вопрос "как?". Образовано оно от существительного, хотя и слово "панталыку" в современном русском отдельно не употребляется. Согласно вышеупомянутому правилу, наречное выражение "с панталыку", образованное от существительного при помощи предлога "с" должно писать раздельно.
Вывод - слово "с панталыку" пишется раздельно.
Вспомним орфограмму русского языка об употреблении мягкого знака после шипящих на конце существительных. Данная орфограмма гласит - мягкий знак после шипящих согласных пишется на конце существительных третьего склонения. На конце существительных мужского рода после шипящих мягкий знак не пишется.
Слово "сыч" - это существительное мужского рода с шипящей согласной "ч" на конце. Применив данную орфограмму, мы видим, что на конце слова "сыч", после буквы "ч" не пишется мягкий знак.
Вывод - слово "сыч" пишется без мягкого знака на конце.