Question

Помогите с уравнением. Заранее спасибо.

Answer 1

Упростим правую часть уравнения
 $4\cdot \frac{\sin^63x+\cos^63x}{4\cos^26x+\sin^26x} = \frac{4(\sin^23x+\cos^23x)(\sin^43x-\sin^23x\cos^23x+\cos^43x)}{4\cos^26x+1-\cos^26x} =\\ \\ = \frac{4((\sin^23x+\cos^32x)^2-3\sin^23x\cos^23x)}{3\cos^26x+1} = \frac{4-3\sin^26x}{3\cos^26x+1} = \frac{1+3\cos^26x}{3\cos^26x+1} =1$

Т.е. имеем $\sin^{10}3x+\cos^{10}3x=1$

очевидно, что $\sin^{10}3x \leq \sin^23x,\,\,\,\cos^{10}3x \leq \cos^23x$.
Складывая неравенства, получаем
   $\sin^{10}3x+\cos^{10}3x \leq 1$
Отсюда следует, что
  
$\begin{cases} & \text{ } \sin^{10}3x=\sin^23x \\ & \text{ } \cos^{10}3x=\cos^23x \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \sin^23x(\sin^83x-1)=0 \\ & \text{ } \cos^23x(\cos^83x-1)=0 \end{cases}$


$x= \frac{\pi k}{6} ,k \in Z$ - общее решение уравнения