Question

Прямая у=-2х+1 является касательной к графику функции у=ах^2+5х+8.Найдите а.

Answer 1

Если прямая касается параболы, то коэффициент a можно рассчитать как минимум 3мя разными способами:

1)Дискриминант

$ax^2+5x+8=-2x+1\\ax^2+7x+7=0$

-----

Если прямая касается параболы тогда дискриминант этого уравнения будет равняться нулю.

$49-4*a*7=0\\a=\frac{7}{4}$

Ответ 7/4

2)Теорема виета

Не сильно отличается от первого:

$ax^2+5x+8=-2x+1\\ax^2+7x+7=0$

если прямая касается параболы, тогда квадратный трехчлен имеет всего один корень, тогда по т. виета:

$2x=-\frac{7}{a} \\x^2=\frac{7}{a}$

-------------

из 1:

$a=-\frac{7}{2x}$

подставим в 2:

$x^2=-2x\\x=-2\\----\\a=\frac{7}{4}$

-------------

Ответ 7/4 (менее быстрый метод но зато нам сразу будет известна точка касания)

3)Производная

$ax^2+5x+8=-2x+1\\ax^2+7x+7=0$

если прямая касается параболы, тогда значение производной прямой в точке касания равно значению производной параболы в точке касания:

$ax^2+7x+7=0\\2ax+5=-2 >>a=\frac{-7}{2x}$

подставим в первое:

$\frac{-7x}{2}+7x+7=0>>-7x+14x+14=0>>x+2=0>> x=-2$

a=7/4

Ответ 7/4 (Опять же способ не самый быстрый но зато мы сразу узнаем координаты касания)