Интересный вопрос. Вспомнила себя в юношеские годы, потому что уже тогда я нередко называла себя "старой". Почему я так говорила? Да все просто. На тот момент, например, мне не нравились некоторые отечественные песни, которые слушали мои друзья. Они просто не понимали, как мне может не нравиться какой-нибудь "хит" от группы "Руки вверх", это же "крутяк". И я просто, отмазываясь, говорила, что я "старая" и такое направление в музыке не понимаю. Вот то ли дело "Скорпионс", например". Примеров можно много вспомнить.
Порой подростку лень что-то делать, и он заявляет, что он уже "старый", чтобы это делать. Всё шутя.
Думаю, что и сейчас некоторые молодые люди и девушки, говоря так, могут быть с чем-то не согласны, или смотрят на вещи с позиции более взрослого / мудрого человека, несмотря на цифры в паспорте. Действительно, есть такие люди, о которых хочется говорить "умен и мудр не по годам".
Так же не исключаю, что приятен факт, что ты можешь в шутку сказать о "старости", хотя тебе 14-18 лет, а жизнь впереди.