Считаем, что автор уже умеет решать простейшие тригонометрические уравнения.
Теперь ему надо выучить, или хотя бы иметь под рукой тригонометрические формулы:
1) Основные - формулы, связывающие функции одного и того же аргумента.
2) <span>Формулы суммы и разности
3) </span><span>Формулы понижения степени
4) </span><span>Формулы для функций кратных аргументов
5) </span><span>Формулы произведения функций
7) </span><span>Формулы, связывающие все тригонометрические функции с тангенсом половинного угла.
Ну конечно, же не все типы формул используются в конкретном уравнении. Всё это - про запас.
Основная идея таких уравнений, как собирается научиться решать автор, - это сведение всех тригонометрических функций к одному виду и к одному аргументу. В исследуемом уравнении с аргументом ничего делать не нужно, он и так простой - это переменная х. Остается только свести tg x и cos x к какой-то одной функции (например, только к tg или только к sin или только к cos). В этом чаще всего помогают формулы, </span>связывающие функции одного и того же аргумента.
Как известно,
![tg\ x=\frac{sin\ x}{cos\ x}](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5C+x%3D%5Cfrac%7Bsin%5C+x%7D%7Bcos%5C+x%7D)
, подставляем в уравнение:
![2*(\frac{sin\ x}{cos\ x})^2-\frac{7}{cos\ x}+8=0\\ 2*\frac{sin^2 x}{cos^2 x}-\frac{7}{cos\ x}+8=0\\](https://tex.z-dn.net/?f=2%2A%28%5Cfrac%7Bsin%5C+x%7D%7Bcos%5C+x%7D%29%5E2-%5Cfrac%7B7%7D%7Bcos%5C+x%7D%2B8%3D0%5C%5C%0A2%2A%5Cfrac%7Bsin%5E2+x%7D%7Bcos%5E2+x%7D-%5Cfrac%7B7%7D%7Bcos%5C+x%7D%2B8%3D0%5C%5C)
Еще не всё, у нас всё еще 2 вида функций. Применяем основное триг.тож-во:
![sin^2x+cos^2x=1\ => sin^2=1-cos^2x\ =>\\\\ \dfrac{2(1-cos^2x)}{cos^2x}-\dfrac{7}{cos\ x}+8=0](https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E2x%2Bcos%5E2x%3D1%5C+%3D%3E+sin%5E2%3D1-cos%5E2x%5C+%3D%3E%5C%5C%5C%5C%0A%5Cdfrac%7B2%281-cos%5E2x%29%7D%7Bcos%5E2x%7D-%5Cdfrac%7B7%7D%7Bcos%5C+x%7D%2B8%3D0)
Всё!!! Теперь все получена
<em>одна и та же функция</em> cos и у нее
<em>одинаковый аргумент</em> x. Выполнение этих двух требований я считаю основополагающим при решении значительной массы триг.уравнений.
теперь делаем заменку cos x = t и решаем рациональное уравнение (способы их решений изучаются в 7-9 кл.)
![\dfrac{2(1-t^2)}{t^2}-\dfrac{7}{t}+8=0 \\ \dfrac{2}{t^2}-2-\dfrac{7}{t}+8=0 \\ \dfrac{2}{t^2}-\dfrac{7}{t}+6=0 \\ 6t^2-7t+2=0,\ t \neq0\\ t_1=\frac{1}{2},\ t_2=\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7B2%281-t%5E2%29%7D%7Bt%5E2%7D-%5Cdfrac%7B7%7D%7Bt%7D%2B8%3D0+%5C%5C+++%5Cdfrac%7B2%7D%7Bt%5E2%7D-2-%5Cdfrac%7B7%7D%7Bt%7D%2B8%3D0+%5C%5C%0A+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bt%5E2%7D-%5Cdfrac%7B7%7D%7Bt%7D%2B6%3D0+%5C%5C++6t%5E2-7t%2B2%3D0%2C%5C+t+%5Cneq0%5C%5C%0At_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C+t_2%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D)
Далее переходим к простейшим тригонометрическим уравнениям:
![cos\ x=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%5C+x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
или
![cos\ x=\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%5C+x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D)
Решив эти уравнения, получаем ответ:
![\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ \pm arccos \frac{2}{3}+2\pi n;\ k,n \in Z.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpm+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%2B2%5Cpi+k%2C%5C+%5Cpm+arccos+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B2%5Cpi+n%3B%5C+k%2Cn+%5Cin+Z.)