Question

Решите уравнение, используя подходящую подстановку! 99Б!

\frac{1}{x²-3x-1} + \frac{1}{x²-3x-2} = \frac{5}{x²-3x+2}
-----------------------------------------------------------------------------

Answer 1

Решить через подстановку.. Что ж заменим

$\displaystyle x^2-3x=a$

тогда уравнение примет вид

$\displaystyle \frac{1}{a-1}+ \frac{1}{a-2}= \frac{5}{a+2}\\\\ \frac{a-2+a-1}{(a-1)(a-2)}= \frac{5}{(a+2)}\\\\(2a-3)(a+2)=5(a-1)(a-2)\\\\2a^2+a-6=5a^2-15a+10\\\\3a^2-16a+16=0\\\\D=256-192=64\\\ a_{1.2}= \frac{16\pm8}{6}\\\a_1=4; a_2=4/3$

$\displaystyle (a-4)(3a-4)=0\\\\(x^2-3x-4)(3x^2-9x-4)=0\\\\x^2-3x-4=0\\\\D=9+16=25\\\\x_1=4; x_2=-1$

$\displaystyle 3x^2-9x-4=0\\\\D=81+48=129\\\\x_{1.2}= \frac{9\pm \sqrt{129}}{6}$

Answer 2

$\frac{1}{x^2-3x-1} + \frac{1}{x^2-3x-2} = \frac{5}{x^2-3x+2} \\ 2-3x+x^2+ \frac{(x^2-3x-2)(x^2-3x+2)}{x^2-3x-1}=5(x^2-3x-2) \\ \frac{(x^2-3x+2)(2x^2-6x-3)}{x^2-3x-1}=5(x^2-3x-2) \\ (x^2-3x+2)(2x^2-6x-3)=5(x^2-3x-2)(x^2-3x-1) \\ 2x^4-12x^3+19x^2-3x-6=5(x^2-3x-2)(x^2-3x-1) \\ 2x^4-12x^3+19x^2-2x-6=5x^4-30x^3+45x+10 \\ -3x^4+18x^3-11x^2-48x-16=0 \\ -(x-4)(x+1)(3x^2-9x-4)=0 \\ (x-4)(x+1)(3x^2-9x-4)=0 \\ x-4=0;x+1=0;3x^2-9x-4=0 \\ x=4;x=-1;x^2-3x-4/3=0 \\ x=4;x=-1;x^2-3x=4/3 \\ x=4;x=-1;(x-3/2)^2=43/12$
$x=4;x=-1;x-3/2= \frac{ \sqrt{43/3} }{2};x-3=- \frac{ \sqrt{43/3} }{2} \\ x= 4;x=-1;x=3/2+\frac{ \sqrt{43/3} }{2};x=3/2-\frac{ \sqrt{43/3} }{2}$