A)
![sin3x= -\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ 3x=(-1)^{n+1}* \frac{ \pi }{4}+ \pi n \\ x=(-1)^{n+1}* \frac{ \pi }{12}+ \frac{ \pi }{3}n](https://tex.z-dn.net/?f=sin3x%3D+-%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%5C%5C+%0A3x%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%2A+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D%2B+%5Cpi+n+%5C%5C+%0Ax%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%2A+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B12%7D%2B+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7Dn++++)
, n∈Z
б)
3cos²x-8cosx+5=0
y=cosx
3y²-8y+5=0
D=64-60=4
y₁=(8-2)/6=1
y₂=(8+2)/6=10/6=5/3=1 ²/₃
При у=1
cosx=1
x=2πn, n∈Z
При у= 1 ²/₃
cosx=1 ²/₃
Так как 1 ²/₃∉[-1; 1], то уравнение не имеет решений.
Ответ: 2πn, n∈Z.
в)
sin²x-5sinx cosx +4cos²x=0
![\frac{sin^2x}{cos^2x}- \frac{5sinxcosx}{cos^2x}+ \frac{4cos^2x}{cos^2x}= \frac{0}{cos^2x} \\ \\ tg^2x-5tgx+4=0 \\ \\ y=tgx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bsin%5E2x%7D%7Bcos%5E2x%7D-+%5Cfrac%7B5sinxcosx%7D%7Bcos%5E2x%7D%2B+%5Cfrac%7B4cos%5E2x%7D%7Bcos%5E2x%7D%3D+%5Cfrac%7B0%7D%7Bcos%5E2x%7D+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%0Atg%5E2x-5tgx%2B4%3D0+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%0Ay%3Dtgx++++)
y^2-5y+4=0
D=25-16=9
y₁=(5-3)/2=1
y₂=(5+3)/2=4
При у=1
tgx=1
x=π/4 + πn, n∈Z
При у=4
tgx=4
x=arctg4+πn, n∈Z
Довольно интересная задача. Можно решить, так сказать, в лоб, а можно подумать.
В лоб - это выражаем отдельно a и b.
![a = 4 - b](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+4+-+b)
или
![b = 4 - a](https://tex.z-dn.net/?f=b+%3D+4+-+a)
подставляем это во второе выражение и получаем обычное квадратное ур-ие.
![(4 - b)b = 3.75 \\ 4b - b^2 = 3.75 \\ b^2 - 4b + 3.75 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%284+-+b%29b+%3D+3.75++%5C%5C+4b+-+b%5E2+%3D+3.75++%5C%5C+b%5E2+-+4b+%2B+3.75+%3D+0)
Решаем, получаем b, с a будет аналогично.
Но это не интересно.
Давайте разложим сумму кубов по ФСУ
![a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 -ab + b^2)](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3+%2B+b%5E3+%3D+%28a%2Bb%29+%28a%5E2+-ab+%2B+b%5E2%29)
Смотрим внимательно и видим, или вспоминаем, что вторая скобка это неполный квадрат разницы, но через квадрат суммы также можно выразить. т.е.
![(a+b)^2 - 3ab](https://tex.z-dn.net/?f=%28a%2Bb%29%5E2+-+3ab)
Давайте перепишем в таком виде
![a^3 + b^3 = (a+b)((a+b)^2 - 3*ab)](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3+%2B+b%5E3+%3D+%28a%2Bb%29%28%28a%2Bb%29%5E2+-+3%2Aab%29)
Как мы видим, все исходные данные у нас есть, осталось подставить.
![4*(4^2 - 3*3.75) = 4*(16 - 3*3.75) = 4*4,75 = 19](https://tex.z-dn.net/?f=4%2A%284%5E2+-+3%2A3.75%29+%3D+4%2A%2816+-+3%2A3.75%29+%3D+4%2A4%2C75+%3D+19)
Согласитесь, куда приятнее, чем решать квадратные ур-ия.
Много писать не стал, каждое натуральное число большее единицы можно разложить в произведение простых множителей. Т.к. 10=5*2, нужно подсчитать степени пятерки и степени двойки (двоек очевидно гораздо больше) в произведении.
1)a^3+8b^3=(а+3b)(a^2-3ab+9b^2)
2)x^2y-36y^3=y(x-6y)(x+6y)
3)-5m^2+10mn-5n^2=-5(m-n)^2
4)4ab-28b+8a-56=4b(a-7)+8(a-7)=4(a-7)(b+2)
5)a^4-81=(a^2+9)(a-3)(a+3)