Question

Решите неравенство f'(x) < 0
$f(x)=\frac{3}{x}-x^2$
Не получается продолжить решение. Вычисляю производную, подставляю неравенство, а дальше решать кубическое уравнение - не знаю как.
$-\frac{3}{x}-x^2 \ \textless \ 0\\3+2x^3\ \textgreater \ 0\\x^3\ \textgreater \ -\frac{3}{2}$

Answer 1

$f(x) = \frac{3}{x} - x^2\\\\ f'(x) = -\frac{3}{x^2} - 2x \ \textless \ 0\\\\ x \ne 0\\\\ -\frac{3}{x^2} \ \textless \ 2x \ | * x^2\\\\ -3 \ \textless \ 2x^3, \ 2x^3 + 3 \ \textgreater \ 0 \ | : 2\\\\ x^3 + \frac{3}{2} \ \textgreater \ 0, \ x^3 \ \textgreater \ -\frac{3}{2}$

$x^3 = -\frac{3}{2}, \ x = \sqrt[3]{-\frac{3}{2}} = -\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Так как функция возрастает на всей числовой оси, то для всех значений:

$x \ \textgreater \ -\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

будет выполняться:  $x^3 \ \textgreater \ -\frac{3}{2}$

Тогда получим, что неравенство выполняется при:

$x \in (-\sqrt[3]{\frac{3}{2}};0) \cup (0;+\infty)$