1 ответ:
Читайте также
<h2>Задание A3</h2><h3>При каких значениях x значение производной функции f(x) = 2x⁵ - 1.5x⁴ + 9 равно 0?</h3><h2>Решение</h2>
Для начала найдём производную, а затем приравняем к нулю, чтобы узнать, в каких точках она равна нулю:
f'(x) = (2x⁵ - 1.5x⁴ + 9)' = (2x⁵)' - (1.5x⁴)' + (9)' =
5 · 2 · x⁵⁻¹ - 1.5 · 4 · x⁴⁻¹ + 0 =
10x⁴ - 6x³
f'(x) = 0, тогда
10x⁴ - 6x³ = 0
Вынесем общий множитель 2x³:
2x³ · (5x - 3) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
2x³ = 0 ⇒ x = 0
5x - 3 = 0 ⇒ 5x = 3 ⇒ x = 3/5
<h2>Ответ</h2>0; 3/5
<h2>Задание B1</h2><h3>Найдите значения x, при которых значения производной функции f(x) = 6x + x√x положительны.</h3><h2>Решение</h2>Для начала найдём производную, а затем решим неравенство f'(x) > 0, чтобы узнать, при каких x производная положительна:
Мы видим, что у нас в производной лишь одна переменная - это x. К радости, она находится в числителе, а также заключена в корень. А это значит, что (вспомнив определение корня) x не может быть меньше нуля. Так как по условию нам ничего не говорилось про 0, мы исключим его.
<h2>Ответ</h2>x ∈ N или x ∈ (0; +∞)
<h2>Задание B2</h2><h3>Найдите производную функции y = (x + 4) / √x</h3><h2>Решение</h2>Вспомним формулу дифференцирования дроби:
Применим к нашей функции:
В таблице производных таких формул нет, поэтому понимаем, что тут сложные функции, да они ещё и умножаются. Вспомним формулу дифференцирования произведения:
(a · b)' = a' · b + a · b'
А также дифференцирование сложной функции:
f'(g(x)) = f'(g) · g'(x)
Чтобы не мучить глаза ни себе длинными записями, ни Вам, я введу переменные:
(3 - x)⁴ = a,
(2x + 1)³ = b
Найдём сначала производную от a и b, а затем подставим их в формулу дифференцирования производной:
a' = ((3 - x)⁴)' = 4 · (3 - x)⁴⁻¹ · (3 - x)' = 4 · (3 - x)³ · (-1) = -4 · (3 - x)³
b' = ((2x + 1)³)' = 3 · (2x + 1)³⁻¹ · (2x + 1)' = 3 · (2x + 1)² · 2 = 6 · (2x + 1)²
(a · b)' = a' · b + a · b' = -4 · (3 - x)³ · (2x + 1)³ + (3 - x)⁴ · 6 · (2x + 1)² =
вынесем множитель 2 · (3 - x)³ · (2x + 1)²:
2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-2 · (2x - 1) + 3 · (3 - x) =
2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-4x - 2 + 9 - 3x) =
2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-7x + 7) =
-2 · 7 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (x - 1) =
14 · (x - 3)³ · (2x + 1)² · (x - 1)
14 · (x - 3)³ · (2x + 1)² · (x - 1) < 0
Рисуем числовую прямую, помечаем там точки -¹/₂; 1 и 3. Решаем по методу интервалов. Так как у нас есть степени, соблюдаем правило: если степень чётная, то левее точки (числа) будет такой же знак, как и правее. Если нечётная - знак меняется на противоположный.
<h2>Ответ</h2>x ∈ (1; 3)