Question

Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием:

Answer 1

$\int\sqrt{2x+1}\,dx=\frac12\int\sqrt{2x+1}\,d(2x+1)=\frac13(2x+1)^{3/2}+C$

$(\frac13(2x+1)^{3/2})'=\frac13\cdot\frac32(2x+1)^{1/2}\cdot2=\sqrt{2x+1}$

 

$\int\dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}\,dx=\frac14\int\dfrac{d(x^4)}{\sqrt{1-(x^4)^2}}=\frac14\arcsin x^4+C$

$(\frac14\arcsin x^4)'=\frac14\cdot\frac1{\sqrt{1-(x^4)^2}}\cdot4x^3=\frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}$

 

$\int(3x+5)\ln x\,dx=\frac32\int \ln x\,d(x^2)+5\int\ln x\,dx=(\frac32x^2+5x)\ln x-\\-\int\frac1x(\frac32x^2+5x)\,dx=(\frac32x^2+5x)\ln x-\frac34x^2+5x+C$

 

$\int\limits_1^3\dfrac{dx}{2x-1}=\frac12\int\limits_1^3\dfrac{d(2x-1)}{2x-1}=\frac12(\ln(2x-1))_1^3=\frac12\ln5$