Возводим обе части в квадрат.
(4х+60)/7=144
Крест на крест умножаем.
4х+60=1008
И решаем.
4х=948
х=237
<h2>Небольшое теоретическое введение.</h2>
Для большого множества функций область определения - всё R.
<h3>Область определения ограничивается при:</h3>
1) делении на выражение, содержащее x;
<u>Знаменатель не может быть равен нулю!</u>
2) наличии корня чётной степени, содержащего x.
<u>Подкоренное значение неотрицательно!</u>
<h2>
Перейдём непосредственно к вопросу.</h2>
1) Деления или корня нет ⇒ <u>x ∈ R</u>.
2) ![x - 2 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 2 \Longleftrightarrow x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty).](https://tex.z-dn.net/?f=x%20-%202%20%5Cneq%200%20%5CLongleftrightarrow%20x%20%5Cneq%202%20%5CLongleftrightarrow%20x%20%5Cin%20%28-%5Cinfty%3B%202%29%20%5Ccup%20%282%3B%20%2B%5Cinfty%29.)
3) ![\begin{cases} 6 - 3x \geq 0,\\ 6 - 3x \neq 0; \end{cases} \Longleftrightarrow 6-3x > 0 \Longleftrightarrow 3x < 6 \Longleftrightarrow x < 2 \Longleftrightarrow x \in (-\infty; 2).](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%206%20-%203x%20%5Cgeq%200%2C%5C%5C%206%20-%203x%20%5Cneq%200%3B%20%5Cend%7Bcases%7D%20%5CLongleftrightarrow%206-3x%20%3E%200%20%5CLongleftrightarrow%203x%20%3C%206%20%5CLongleftrightarrow%20x%20%3C%202%20%5CLongleftrightarrow%20x%20%5Cin%20%28-%5Cinfty%3B%202%29.)
![\sqrt{x} -9 \sqrt[4]{x} +11 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx%7D+-9+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%2B11+%5Cgeq+0)
![( \sqrt[4]{x})^2 -9 \sqrt[4]{x} +11 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%29%5E2+-9+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%2B11+%5Cgeq+0)
![( \sqrt[4]{x})^2 -9 \sqrt[4]{x} +11 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%29%5E2+-9+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%2B11+%5Cgeq+0)
Замена
![\sqrt[4]{x} =t \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%3Dt+%5Cgeq+0)
![t^2 -9t +11 \geq 0,and,t \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2+-9t+%2B11+%5Cgeq+0%2Cand%2Ct%C2%A0%5Cgeq+0)
![D=81-4*11=37](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D81-4%2A11%3D37)
![t_{1,2}= \frac{9\pm \sqrt{37} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%2C2%7D%3D+%5Cfrac%7B9%5Cpm+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D+)
![\left \{ {{(t- \frac{9- \sqrt{37} }{2} )(t- \frac{9+ \sqrt{37} }{2} ) \geq 0} \atop {t \geq 0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B%28t-+%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D+%29%28t-+%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D+%29+%5Cgeq+0%7D+%5Catop+%7Bt+%5Cgeq+0%7D%7D+%5Cright.)
![t\in[0;\frac{9- \sqrt{37} }{2}]\cup[\frac{9+ \sqrt{37} }{2};+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=t%5Cin%5B0%3B%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%3B%2B%5Cinfty%29)
т.е.
![0 \leq \sqrt[4]{x}\leq\frac{9- \sqrt{37} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%5Cleq%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D)
и
![\sqrt[4]{x} \geq \frac{9+ \sqrt{37} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D++%5Cgeq+%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D)
- решения этих дух неравенств и будут решением исходного неравенства
Отдельно первое:
![0 \leq \sqrt[4]{x} \leq \frac{9- \sqrt{37} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%5Cleq++%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D)
![\left \{ {{ \sqrt[4]{x} \geq 0 } \atop {\sqrt[4]{x} \leq \frac{9- \sqrt{37} }{2}}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%5Cgeq+0+%7D+%5Catop+%7B%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%5Cleq++%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%7D%7D+%5Cright.+)
решением первого неравенства системы есть:
![x \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cgeq+0)
второго:
![0 \leq x \leq (\frac{9- \sqrt{37} }{2})^4](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+x+%5Cleq+%28%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4)
и вместе решением системы будет:
![0 \leq x \leq (\frac{9- \sqrt{37} }{2})^4](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+x+%5Cleq+%28%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4)
отдельно второе:
![\sqrt[4]{x} \geq \frac{9+ \sqrt{37} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D+%5Cgeq+%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D)
![x \geq (\frac{9+ \sqrt{37} }{2})^4](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cgeq+%28%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4)
Объединяем первое и второе:
![0 \leq x \leq (\frac{9- \sqrt{37} }{2})^4,and,x \geq (\frac{9+ \sqrt{37} }{2})^4](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+x+%5Cleq+%28%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4%2Cand%2Cx+%5Cgeq+%28%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4)
![x\in[0;(\frac{9- \sqrt{37} }{2})^4]\cup[(\frac{9+ \sqrt{37} }{2})^4;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cin%5B0%3B%28%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4%5D%5Ccup%5B%28%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4%3B%2B%5Cinfty%29)
Ответ:
![[0;(\frac{9- \sqrt{37} }{2})^4]\cup[(\frac{9+ \sqrt{37} }{2})^4;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%5B0%3B%28%5Cfrac%7B9-+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4%5D%5Ccup%5B%28%5Cfrac%7B9%2B+%5Csqrt%7B37%7D+%7D%7B2%7D%29%5E4%3B%2B%5Cinfty%29)
---------------------------------------------
![\sqrt[3]{x^2+7x-8}* \sqrt{x+9} \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%2B7x-8%7D%2A+%5Csqrt%7Bx%2B9%7D+%5Cleq+0++)
Рассмотрим случай, когда
![\sqrt{x+9}\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bx%2B9%7D%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
,
это случай, когда
![x\ \textgreater \ -9](https://tex.z-dn.net/?f=x%5C+%5Ctextgreater+%5C+-9)
В этом случае мы можем спокойно поделить неравенство на этот квадратный корень и получим:
![\sqrt[3]{x^2+7x-8} \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%2B7x-8%7D+%5Cleq+0)
и отложим этот случай на время
второй случай:
![\sqrt{x+9}=0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx%2B9%7D%3D0+)
, т.е
![x=-9](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-9)
в этом случае наше алгебраическое неравенство превращается в правдивое числовое неравенство
![0 \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+0)
т.е.
![-9](https://tex.z-dn.net/?f=-9)
- одно из решений исходного неравенства
вернемся к первой ветке:
![\left \{ {{ \sqrt[3]{x^2+7x-8} \leq 0 } \atop {x\ \textgreater \ -9}} \right. ; \left \{ {{ \sqrt[3]{(x-8)(x-1)} \leq 0 } \atop {x\ \textgreater \ -9}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%2B7x-8%7D+%5Cleq+0+%7D+%5Catop+%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+-9%7D%7D+%5Cright.+%3B%0A+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x-8%29%28x-1%29%7D+%5Cleq+0+%7D+%5Catop+%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+-9%7D%7D+%5Cright.+)
видим, что при
![x=8](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D8)
и
![x=1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D1)
первое алгебраическое неравенство превращается в верное числовое неравенство
![0 \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+0)
и также оба этих значения удовлетворяю второе неравенство системы, т.е. эти два значения являются так же решениями исходного неравенства.
теперь умножаем наше неравенство на
![( \sqrt[3]{(x-8)(x-1)} )^2\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x-8%29%28x-1%29%7D+%29%5E2%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
убирая куб
![\left \{ {{(x-8)(x-1)} \leq 0} \atop {x\ \textgreater \ -9}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B%28x-8%29%28x-1%29%7D+%5Cleq+0%7D+%5Catop+%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+-9%7D%7D+%5Cright.+)
решение неравенства:
![x\in[1;8]](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cin%5B1%3B8%5D)
Учитывая отброшенную начале -9:
![x\in\{-9\}\cup[1;8]](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cin%5C%7B-9%5C%7D%5Ccup%5B1%3B8%5D)
Ответ:
![\{-9\}\cup[1;8]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%7B-9%5C%7D%5Ccup%5B1%3B8%5D)