Question

Как доказать сходимость ряда и найти его сумму(см.)?

Сигма от 1 до беск. а(n-ое)=(3^n+4^n)/12^n

Answer 1

Чтобы доказать сходимость приведенного в вопросе ряда, достаточно проверить его на соответствие признаку Даламбера. То есть необходимо выяснить, чему равен предел при стремящемся к бесконечности n отношения (n+1)-го члена ряда к n-му. Если полученный результат будет меньше единицы, то ряд сходится.

К сожалению, данный ресурс не очень адаптирован для текстов, изобилующих математическими символами, потому решение привожу на фото:

Как видим, полученный результат меньше единицы, и стало быть, ряд сходится. А раз так, то можно его представить в виде суммы двух рядов (еще одно фото в помощь):

Теперь вспомним формулу суммы беск. убывающ. геометрической прогрессии и посчитаем, что первое слагаемое равно 1/3, а второе 1/2, и их сумма, являющаяся суммой ряда, составляет 5/6.