Question

Объясните, пожалуйста, чем отличается cos²x от cosx²? Разве это не одно и то же? Но судя по примеру в книге сомневаюсь в тождественности.

Answer 1

$y=cos^2x=(cosx)^2=u^2\quad \Rightarrow \quad (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; gde\; u=cosx.\\\\(cos^2x)'=2cosx\cdot (cosx)'=2cosx\cdot (-sinx)=-sin2x\\\\\\y=cosx^2=cos(x^2)=cosu\; ,\; gde\; \; u=x^2\; \; \Rightarrow \; \; (cosu)'=-sinu\cdot u'\\\\(cosx^2)'=-sin(x^2)\cdot (x^2)'=-sin(x^2)\cdot 2x=-2x\cdot sinx^2$

Итак, функция  $y=cos^2x$  - это степенная функция, в основании степени стоит (cosx), он возводится во 2 степень. Внешняя функция степенная, внутренняя - тригонометрическая.
А функция  $y=cosx^2$  -это тригонометрическая функция  косинус, аргументом которой является степенная функция  $x^2$ . Внешняя функция - тригонометрическая, а внутренняя - степенная. 
Как видите - это совершенно разные функции, хотя и скомбинированы из тригонометрической и степенной функций.