Question

Исходя из определения предела последовательности докажите, что при n стрелочка бесконечность.
Пример на фото.

Answer 1

Следуя определению  предела последовательности:
$\displaystyle a= \lim _{n\rightarrow +\infty} x_n$

Если:
$\forall \epsilon , \exists N \in \mathbb N | \forall n \ \textgreater \ N \Rightarrow |x_n-a|\ \textgreater \ \epsilon$

На понятном языке это так: Число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности $\forall \epsilon$ существует натуральный номер $\exists N\in \mathbb N$ - такой, что все члены последовательности с большими номерами $\forall n \ \textgreater \ N$ окажутся внутри окрестности $|x_n-a| \ \textgreater \ \epsilon$

Имеем предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n} =1$

Требуется доказать что он равен 1. 
Доказательство:

Если $n\ \textgreater \ N$ то $|\frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{n-n+2}{n} |\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{2}{n} | \ \textless \ \epsilon$

Так как само $n$ натурально, то мы имеем право раскрыть данный модуль:
$\frac{2}{n} \ \textless \ \epsilon \Rightarrow n\ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$

Следовательно, отсюда имеем следующее:
Если $n \ \textgreater \ N$ то $n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$

Так как в:
$n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$ дробное число, нам следует брать только его целую часть:
$n\ \textgreater \ [\frac{2}{\epsilon}]$

Имеем:
$N=[ \frac{2}{\epsilon}]$

Вывод:
Для любой сколько угодно малой окрестности $\epsilon$ точки $a=1$, нашлось значение $N=[ \frac{2}{\epsilon}]$, такое , что для любых больших номеров $n\ \textgreater \ N$ выполняется неравенство $| \frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon$

Таким образом, число a является пределом последовательности по определению. Ч.Т.Д.