Question

Помогите решить sin^2(x) - cos^2(2x) = 0

Answer 1

Sin²x - cos²2x = 0
(sinx - cos2x)(sinx + cos2x) = 0
Произведение множителей тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1) sinx - (1 - 2sin²x) = 0
sinx - 1 + 2sin²x = 0
2sin²x + sinx - 1 = 0
Пусть t = sinx, |t| ≤ 1.
2t² + t - 1 = 0
D = 1 + 4•2 = 9 = 3²
t1 = (-1 + 3)/4 = 2/4 = 1/2
t2 = (-1 - 3)/4 = -4/4 = -1
Обратная замена:
sinx = 1/2
x = (-1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z
sinx = -1
x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
2) sinx + cos2x = 0
sinx + 1 - 2sin²x = 0
2sin²x - sinx - 1 = 0
Пусть t = sinx, |t| ≤ 1
2t² - t - 1 = 0
D = 1 + 2•4 = 9 = 3²
t1 = (1 + 3)/4 = 1
t2 = (1 - 3)/4 = -1/2
Обратная замена:
sinx = 1
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z
sinx = -1/2
x = (-1)ⁿ+¹π/6 + πn, n ∈ Z
Ответ: x = ±π/2 + 2πn; (-1)ⁿπ/6 + πn; (-1)ⁿ+¹π/6 + πn, n ∈ Z.