5х-4,5=3Х+2,5
5х-3х=2,5+4,5
2х=7
Х=7/2
Х=3,5
A) 10a^2 - 6ab + b^2;
b) 9b^2 - a^2 +6ab - 9b^2 = 6ab - a^2;
c) 25a^2+70ab +49b^2 - 70ab = 25a^2 + 49b^2;
d) 64a^2 - 16ab +b^2 - 64a^2 = b^2 - 16ab
<span>1) ³√256=∛64*4=4∛4
2) 1 2/5×√3 4/7=1 2/5*√25/7=7/5*5/√7=√7
3) ³√8-37׳√8+37=</span>2-37*2+37=2-37=-35
![(x^2-6x+13)^2-7](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-6x%2B13%29%5E2-7)
так как
![x^2-6x+13=x^2-6x+9+4=(x^2-6x+9)+4=(x-3)^2+4](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-6x%2B13%3Dx%5E2-6x%2B9%2B4%3D%28x%5E2-6x%2B9%29%2B4%3D%28x-3%29%5E2%2B4)
наименьшее значение при х=3 оно равно 4
или иначе
![ax^2+bx+c](https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E2%2Bbx%2Bc)
![a=1;b=-6;c=13](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1%3Bb%3D-6%3Bc%3D13)
a=1>0, значит ветви параболы направлены верх
так как
![D=b^2-4ac=(-6)^2-4*1*13=-16<0](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D%28-6%29%5E2-4%2A1%2A13%3D-16%3C0)
то пересечений с осью абсцисс нет, парабола лежит выше оси Ох, иначе все ее значения положительны
(нам это важно так как будем еще возносить в квадрат, если бы были еще отрицательные - то смотрели бы на 0 )
минимум будет в вершине параболы
![x=-\frac{b}{2a}; y=c-\frac{b^2}{4a}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%3B+y%3Dc-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4a%7D)
![x=-\frac{-6}{2*1}=-3; y=13-\frac{(-6)^2}{4*1}=4](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-%5Cfrac%7B-6%7D%7B2%2A1%7D%3D-3%3B+y%3D13-%5Cfrac%7B%28-6%29%5E2%7D%7B4%2A1%7D%3D4)
минимальное значение y=4 при х=3
с учетом того что
![x^2-6x+13>0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-6x%2B13%3E0)
значит и квадрат выражения
![(x^2-6x+13)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-6x%2B13%29%5E2)
будет принимать минимальное значение когда минимальное у
![x^2-6x+13](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-6x%2B13)
и оно будет
![4^2=16](https://tex.z-dn.net/?f=4%5E2%3D16)
при х=3
![(x^2-6x+13)^2-7](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-6x%2B13%29%5E2-7)
тоже примет минимальное значение при х=3 и оно будет равно
![16-7=9](https://tex.z-dn.net/?f=16-7%3D9)
ответ: наименьшее значение 9 при х=3
второе решение более общеетам осталось только посчитать![(3^2-6*3+13)^2-7=9](https://tex.z-dn.net/?f=%283%5E2-6%2A3%2B13%29%5E2-7%3D9)
- наименьшее значение
В равенстве слева сумма имеет общий член ![a_n=n(2n+1)](https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Dn%282n%2B1%29)
1) Базис индукции: ![n=1](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D1)
![1\cdot (2\cdot 1+1)=\dfrac{1\cdot (1+1)\cdot (4\cdot 1+5)}{6}~~~\Rightarrow~~~ 3=3](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Ccdot%20%282%5Ccdot%201%2B1%29%3D%5Cdfrac%7B1%5Ccdot%20%281%2B1%29%5Ccdot%20%284%5Ccdot%201%2B5%29%7D%7B6%7D~~~%5CRightarrow~~~%203%3D3)
2) Предположим, что и для
верно равенство
![1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)=\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Ccdot%203%2B2%5Ccdot%205%2B...%2Bk%282k%2B1%29%3D%5Cdfrac%7Bk%28k%2B1%29%284k%2B5%29%7D%7B6%7D)
3) Индукционный переход: ![n=k+1](https://tex.z-dn.net/?f=n%3Dk%2B1)
![\underbrace{1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)}_{\frac{k(k+1)(4k+5)}{6}}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\\\\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\left(\dfrac{k(4k+5)}{6}+2k+3\right)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\cdot \dfrac{4k^2+5k+12k+18}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cunderbrace%7B1%5Ccdot%203%2B2%5Ccdot%205%2B...%2Bk%282k%2B1%29%7D_%7B%5Cfrac%7Bk%28k%2B1%29%284k%2B5%29%7D%7B6%7D%7D%2B%28k%2B1%29%282k%2B3%29%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7Bk%28k%2B1%29%284k%2B5%29%7D%7B6%7D%2B%28k%2B1%29%282k%2B3%29%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%28k%2B1%29%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bk%284k%2B5%29%7D%7B6%7D%2B2k%2B3%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%28k%2B1%29%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B4k%5E2%2B5k%2B12k%2B18%7D%7B6%7D%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%284k%5E2%2B17k%2B18%29%7D%7B6%7D%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%28k%2B2%29%284k%2B9%29%7D%7B6%7D)
Равенство выполняется для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.