Задача. Какова подходящая дата прилунения спускаемого аппарата?
В 1958 году астрономы обнаружили выход газов и появление красного пятна около центрального пика кратера Альфонс, что указывало на возможную вулканическую деятельность на Луне . Дальнейшие исследования не подтвердили эти наблюдения. Тогда, аномальные явления объяснили тектоническими сдвигами за счёт гравитационного воздействия Земли.
Спустя 60 лет вновь кратер Альфонс заявил о себе, выделением газов и изменением цвета. Решили в срочном порядке для исследования на месте отправить на Луну экспедицию. Но вот незадача, в полдень поверхность естественного спутника в районе кратера нагревается до +120⁰ С, а в полночь опускается до -150⁰ С, что небезопасно для космонавтов. Тогда постановили назначить прилунение аппарата в ближайшее время, когда температура поверхности дна кратера достигнет +20⁰ С. В данный момент времени 1 апреля 11:00 она составляет 0⁰ С, а на Альфонсе вечер (Солнце на закате).
Следует вычислить дату благоприятной посадки лунного космического аппарата, моделируя зависимость температуры от времени периодичности вращения Луны с помощью синусоидальной функции.
3 ответа:
Синодический месяц в среднем равен 29,5 суткам. За этот период Солнце совершает на небосводе нашего естественного спутника полный оборот, что соответствует температурному циклу нагрева поверхности. Температурную зависимость от положения Солнца выразим с помощью синусоидальной функции
у = а*sin х + d.
Вычисляем: амплитуду а = (120 + 150)/2 = 135, значение средней линии d = 135 - 150 =-15.
Период оборота Солнца не будем выражать в лунных часах или земных сутках для исключения путаницы, пусть остается равным 2π (радиан). Не станем смещать график вводом фазы, так как начало отсчета непринципиально. Тогда
у = 135*sin х -15 (1).
График функции изображен на рисунке. Начало синусоиды соответствует восходу Солнца. Тогда температура 0⁰ С при заходе Солнца в районе Альфонса на синусоиде определяется точкой А. Точки В и С расположены на пересечениях средней линии (-15⁰) с синусоидой. Ближайшая точка D соответствующая +20⁰ С, находится после восхода Солнца в начале следующего периода. Угловое расстояние на графике между точками А и D определяется отрезком
А₁ D₁ = А₁В + ВС + СD₁ (2), при этом ВС = π (полупериоду).
Вычисляем А₁В. Здесь функция (1) в точке А по условию равна 0⁰ ( у = 0), а (Х = А₁В)
0 = 135*sin (А₁В) - 15, откуда
(А₁В) = arcsin 15/135 ≈ 0,11134.
Вычисляем СD₁. Функция (1) в точке D равна +20⁰ ( у = 20), а (Х = СD₁)
20 = 135*sin (СD₁) - 15, откуда
( СD₁) = arcsin 35/135 ≈ 0,26226.
Суммируем полученные значения
А₁ D₁ = 0,11134 + π + 0,26226 ≈ 3,51519.
Переводим угловое значение в количество суток
А₁ D₁ = 29,5/(2π)*3,51519 ≈ 16, 5 (суток).
Благоприятная дата посадки лунного космического аппарата 17 апреля в 23:00.
Читайте также
Решений предоставлено достаточно, но ответы не совпадают. Попробую решить эту задачу, так как это я понимаю. Все разговоры о плагиате, желающие высказаться, оставляють при себе.
Картинка к задаче не соответствует действительности. Дело в том, что если изображать шары в виде окружностей, то на виде с любой стороны параллелепипеда, они будут выглядеть, как две пересекающиеся окружности. Для того, чтобы увидеть касание окружностей их нужно рассматривать в плоскости перпендикулярной основанию и проходящей через центры шаров. В моем случае, это плоскость G-G.
Возьмем коробку и шары произвольного размера. Разместим их в диагонально противоположных углах параллелепипеда. На виде сверху это будет выглядеть следующим образом. Где a и b ширина и длина коробки, соответственно.
По теореме Пифагора несложно посчитать размер между осями шаров, перпендикулярных основанию коробки (L).
Подставив в формулу значения из условия задачи, получим L=4sqrt(13)=14.422
Далее рассмотрим картинку в плоскости G-G
Расстояния между осями определено. Большой шар условно неподвижен, а маленький может перемещаться по вертикали. Естественно, нас интересует только вариант, когда окружности соприкасаются в одной точке.
Рассмотрим эту схему подробнее.
Опять же, несложно по Пифагору определить расстояние между центрами шаров, по вертикали.
При подстановке значений получим h=6.928
И далее, высота коробки будет равна R+h+r=22.928 , по маленькому шару. Изобразим картинку в масштабе.
Очевидно, что маленький шар спокойно поместится в свободный угол коробки и не будет принимать участие в формировании высоты коробки. А это значит, что высота коробки будет принята по размеру большого шара, то есть:
Высота коробки будет равна 24.
Задача оказалась с подвохом.