Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) f{x)=x⁴-2x²
2) f{x)=sinx

Answer 1

1) Найдём производную функции: $f'(x)=4x^3-4x$

$4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$

Нули производной: -1; 0; 1. $f'(x)\geq 0$, т. е. функция возрастает при $x\in[-1; 0]\cup[1; +\infty)$; $f'(x)\leq 0$, т. е. функция убывает при $x\in(-\infty; -1]\cup[0; 1]$ (см. рис. 1)

2) $f'(x) = \cos{x}$

Рассмотрим функцию на тригонометрической окружности (см. рис. 2). При $-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$$f'(x)\geq 0$, т. е. функция возрастает; при $\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$$f'(x)\leq 0$, т. е. функция убывает.

Ответ: 1) Возрастает при $x\in[-1; 0]\cup[1; +\infty)$, убывает при $x\in(-\infty; -1]\cup[0; 1]$; 2) Возрастает при $-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$, убывает при $\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$