Было бы просто, если бы можно было бы сказать: "Пиши так всегда, не пиши эдак никогда". В данном случае это невозможно, потому что оба написания возможны, хоть и в совершенно разных случаях.
Нечем заняться - словосочетание, в котором главным словом выступает глагол, тип связи - управление. Управляемым оказывается отрицательное местоимение в творительном падеже. Если у Вас возник вопрос, какую буковку написать в первом слоге, то спешу обрадовать: на него падает ударение.
Худшая новость в том, что у него нет формы именительного падежа, поэтому оно не может выступать ни подлежащим, ни прямым дополнением. Встретиться с ним возможно в безличных предложениях:
- Антропологу Гвинейцеву было нечем заняться на необитаемом острове.
При создании вопросительной формы странное местоимение исчезает, вместо него появляется вопросительное м. "что":
- Чем бы заняться на Северном Полюсе? - задумался кактусовод Пингвинов.
<hr />
Не чем заняться - один из возможных в естественной устной и письменной речи случаев, когда такой вид приобретает вопросительное предложение или придаточное в составе сложноподчинённого:
- Для активиста Сталкера главной проблемой было не чем заняться, а как остановиться.
В глаза бросается **противопоставлени*<wbr />*е "не..., а...". Ударение падает на "чем". Отрицательной частицы "ни" не бывает, только усилительная, и если нигде нет "не", то и одинокому сиротливому "ни" взяться нéоткуда.