Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки длиной 1 и 4. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

CD = 1 + 4 = 5

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, значит ОС и OD - биссектрисы.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит сумма их половинок равна 90°:
∠KDO + ∠KCO = 90°,
но тогда в треугольнике ODC угол DOC равен 90°.

ОК - радиус, проведенный в точку касания, значит ОК⊥CD.
ОК - высота прямоугольного треугольника ODC, проведенная к гипотенузе.
Квадрат высоты прямоугольного треугольника равен произведению отрезков, на которые она разбивает гипотенузу:
ОК² = СК · KD = 4
ОК = 2 - радиус окружности.

NL - диаметр, проведенный в точки касания, NL⊥BC,
АВ⊥ВС, ⇒
NL║AB,  и NL = AB как расстояния между параллельными прямыми.

АВ = NL = 2ОК = 4

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны:
АВ + CD = AD + BC = 4 + 5 = 9

Pabcd = 9 · 2 = 18