Question

Дана равнобокая трапеция с основаниями BC и AD, BC=1, BAD=75.На стороне АВ, как на диаметре, построена окружность, которая касается стороны CD и пересекает основание AD . Найти площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:

Sabcd ≈ 7,5 ед.

Объяснение:

В треугольнике АВН угол АНВ прямой, так как опирается на диаметр.  =>  ВН - высота трапеции.

Трапеция равнобедренная и <BAD = <СDА = 75°.  <ABH = 15°.

Проведем BQ параллельно CD.

AH=HQ (АВ = BQ так как  BQ=CD, a CD=AB).  <ABQ = 30°.

В треугольнике АВН:

BH = 2*R*Sin75.  АН =  2*R*Cos75.  HD =AH+BC = 2*R*Cos75+1.

HD = (BC+AD)/2 (свойство равнобедренной трапеции) =>

Sabcd = HD*BH.  

Sabcd = (2*R*Cos75+1)*2*R*Sin75. (1)

В четырехугольнике  АОРD:  <AOP = 360-2*75-90 = 120°. =>

<BOP = 180°-120° =  60°. =>

Треугольник ОВР - равносторонний и ВК - высота, биссектриса и медиана. КР = ОР/2 = R/2.

Проведем СТ параллельно ОР (перпендикулярно BQ).  

CT =KP = R/2.

В прямоугольном треугольнике СТВ: <TCB = 15°.

СТ = ВС*Cos15°. => R/2 = Cos15°. => R = 2Cos15°.

Подставим это выражение в (1):

Sabcd = (2*2Cos15°*Cos75+1)*2*2Cos15°*Sin75.  

Sabcd = (4Cos15°*Cos75+1)*4Cos15°*Sin75.  

Дальше - сплошная тригонометрия.

Но подставив табличные значения, получим Sabcd ≈ 7,5 ед.

Если надо AD = AH+HD = 2RCos75+2RCos75+1 =

8Cos15*Cos75 +1 ≈ 3 ед.