на делимость 18977777....(27раз) ее можно переписать ввиде
7*111111....(27 раз) , преобразуем ее к виду
![111....=1*10^{27}+1*10^{26}....1*10^0\\ S_{geom}=\frac{10^{27}-1}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=111....%3D1%2A10%5E%7B27%7D%2B1%2A10%5E%7B26%7D....1%2A10%5E0%5C%5C%0AS_%7Bgeom%7D%3D%5Cfrac%7B10%5E%7B27%7D-1%7D%7B9%7D)
а так как нужно доказать что она делится на 189, а точнее 189/7 = 27 , так как мы уже поделили на 7, тогда нужно теперь доказать что она делится на 27*9=243
![\frac{10^{27}-1}{243}=\frac{(10-1)(10^2+10+1^2)(10^6+10^3+1)(10^18+10^9+1)}{243}\\ \frac{111(10^6+10^3+1)(10^{18}+10^9+1)}{27}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B10%5E%7B27%7D-1%7D%7B243%7D%3D%5Cfrac%7B%2810-1%29%2810%5E2%2B10%2B1%5E2%29%2810%5E6%2B10%5E3%2B1%29%2810%5E18%2B10%5E9%2B1%29%7D%7B243%7D%5C%5C%0A%5Cfrac%7B111%2810%5E6%2B10%5E3%2B1%29%2810%5E%7B18%7D%2B10%5E9%2B1%29%7D%7B27%7D)
так как все числа в знаменателе оканчиваются на 1, то есть они делятся на 3, то оно может представить ввиде
![\frac{3^3*x}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3%5E3%2Ax%7D%7B2%7D)
, где х-неизвестное частное, то есть она делится на 27
на делимость 333 , вытекает из того что , 111*3, так как ранее уже было сказано что любое число содержит в себе множитель 3 , значит тоже делится на 333
2)
возможны случаи
![1) D=\sqrt{(a^2+2ab)^2-4a*2ab}=0\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=+1%29+D%3D%5Csqrt%7B%28a%5E2%2B2ab%29%5E2-4a%2A2ab%7D%3D0%5C%5C%0A++++)
тогда корень 1
и он равен
![x=\frac{a^2+2ab+\sqrt{(a^2+2ab)^2-8a^2b}}{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%2B2ab%2B%5Csqrt%7B%28a%5E2%2B2ab%29%5E2-8a%5E2b%7D%7D%7B2a%7D)
![2) D=\sqrt{(a^2+2ab)^2-4a*2ab}<0](https://tex.z-dn.net/?f=2%29+D%3D%5Csqrt%7B%28a%5E2%2B2ab%29%5E2-4a%2A2ab%7D%3C0)
нет решений
![3) D=\sqrt{(a^2+2ab)^2-4a*2ab}>0\\ x_{1;2}=\frac{a^2+2ab+/-\sqrt{(a^2+2ab)^2-8a^2b}}{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=3%29+D%3D%5Csqrt%7B%28a%5E2%2B2ab%29%5E2-4a%2A2ab%7D%3E0%5C%5C%0A+++x_%7B1%3B2%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%2B2ab%2B%2F-%5Csqrt%7B%28a%5E2%2B2ab%29%5E2-8a%5E2b%7D%7D%7B2a%7D)
3)
![x^4-3x^2+2x(1-2a)+a(1-a)=0\\ (x^2-2x-a+1)(x^2+2x+a)=0\\ \left \{ {{x^2-2x-a+1=0} \atop {x^2+2x+a=0}} \right. \\ 1)\\ x^2-2x-(a-1)=0\\ D=\sqrt{4+4(a-1)}=2\sqrt{a}\\ a<0\ net \\ x_{1}=\frac{2+2\sqrt{a}}{2}=1+\sqrt{a}\\ x_{2}=\frac{2-2\sqrt{a}}{2}=1-\sqrt{a}\\ 2)\\ x^2+2x+a=0\\ D=\sqrt{4-4a}=2\sqrt{1-a}\\ 1-a>0\\ x_{3}=\frac{-2+2\sqrt{1-a}}{2}=-1+\sqrt{1-a}\\ x_{4}=\frac{-2-2\sqrt{1-a}}{2}=-1-\sqrt{1-a}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4-3x%5E2%2B2x%281-2a%29%2Ba%281-a%29%3D0%5C%5C%0A%28x%5E2-2x-a%2B1%29%28x%5E2%2B2x%2Ba%29%3D0%5C%5C%0A+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5E2-2x-a%2B1%3D0%7D+%5Catop+%7Bx%5E2%2B2x%2Ba%3D0%7D%7D+%5Cright.+%5C%5C%0A+1%29%5C%5C%0A+x%5E2-2x-%28a-1%29%3D0%5C%5C%0A+D%3D%5Csqrt%7B4%2B4%28a-1%29%7D%3D2%5Csqrt%7Ba%7D%5C%5C%0Aa%3C0%5C+net+%5C%5C%0Ax_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B2%2B2%5Csqrt%7Ba%7D%7D%7B2%7D%3D1%2B%5Csqrt%7Ba%7D%5C%5C%0Ax_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2-2%5Csqrt%7Ba%7D%7D%7B2%7D%3D1-%5Csqrt%7Ba%7D%5C%5C%0A2%29%5C%5C%0Ax%5E2%2B2x%2Ba%3D0%5C%5C%0AD%3D%5Csqrt%7B4-4a%7D%3D2%5Csqrt%7B1-a%7D%5C%5C%0A1-a%3E0%5C%5C%0Ax_%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B-2%2B2%5Csqrt%7B1-a%7D%7D%7B2%7D%3D-1%2B%5Csqrt%7B1-a%7D%5C%5C++++++%0A++++%0Ax_%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-2-2%5Csqrt%7B1-a%7D%7D%7B2%7D%3D-1-%5Csqrt%7B1-a%7D)