C6 Задача можно переформулировать так: при каких значениях параметра b уравнение btg^2 x = 6 - cos x - b имеет хотя бы одно решение. Перенесу b влево и вынесу его за скобки: btg^2 x + b = 6 - cos x b(1+tg^2 x) = 6 - cos x Вспоминаем о том, что 1 + tg^2 x = 1/cos^2 x, получаем b/cos^2 x = 6 - cos x Теперь напрашивается замена. Пусть cos x = t, |t| <= 1 Тогда получаем уравнение b/t^2 = 6 - t Перенесём всё влево и приведём всё к общему знаменателю: b/t^2 - 6 + t = 0 (b-6t^2+t^3)/t^2 = 0 Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, знаменатель не равен 0. Отсюда получаем, что t^3 - 6t^2 + b = 0, t не равно 0. Таким образом, задача сводится к следующей: найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение t^3 - 6t^2 + b = 0 имеет корни такие, что -1<= t <= 1, t не равен 0 1)Пусть t = 0, тогда b = 0 - не подходит. 2)Теперь пусть t не равно 0. Надо определить, при каких b уравнение имеет хотя бы один корень из отрезка [-1;1]. Я решал эту задачу графически. t^3 - 6t^2 + b = 0 t^3 - 6t^2 = -b Построим график левой части. Для того чтобы построить его, предварительно проведём краткое исследование графика.(Эскиз я изобразил на рисунке) Пусть h(t) = t^3 - 6t^2. 1)D(h) = R 2)h(t) = 0 t^3 - 6t^2 = 0 t^2(t-6) = 0 t = 0 или t = 6 Итак, точки пересечения с осью Ot: t = 0 и t = 6. 3)Найдём точки пересечения с осью OY: t = 0, если y = 0. 4)Исследуем функцию h(t) на монотонность, найдём её точки максимума и минимума. 1)h'(t) = 3t^2 - 12t 2)h'(t) = 0 3t^2 - 12t = 0 3t(t - 4) = 0 t = 0 или t = 4 Функция возрастает на (-беск;0] и на [4;+беск) Функция убывает на [0;4]
По построенному графику видно, что условие задачи выполняется, когда -7 <= -b < 0, откуда находим искомые значения b.