X≠0;x≠-1
(x+1)/x=t
t+1/t=16/5
5t²-16t+5=0
D=256-100=156
t1=(16-2√39)/10=1,6-0,2√39 U t2=1,6+2√39
(x+1)/x=1,6-0,2√39
x+1=x(1,6-0,2√39)
x(1,6-0,2√39-1)=1
x=1/(0,6-0,2√39) U x=1/(0,6+0,2√39)
Log₂(x+y)+2*log₄(x-y)=5 ОДЗ: х+у>0 x-y>0
3^(1+2*log₃(x-y))=48
log₂(x+y)+2*(1/2)*log₂(x-y)=5
3^(log₃27+log₃(x-y)²)=48
log₂(x+y)+log₂(x-y)=5
3^log₃(27*(x-y)²)=48
log₂((x+y)(x-y))=5
27*(x-y)²=48
log₂((x-y)(x+y))=5
(x-y)²=48/27=16/9
(x-y)(x+y)=2⁵=32
x-y=+/-4/3
(4/3)(x+y)=32
x+y=24
x-y=4/3
2x=24⁴/₃
x₁=12²/₃ y₁=11¹/₃
(-4/3)(x+y)=32
x+y=-24
x-y=-4/3
2x==-24⁴/₃
x₂=-12²/₃ ∉ОДЗ y=-11¹/₃ ∉ОДЗ.
Ответ: x₁=12²/₃ y₁=11¹/₃.
6) Сумма логарифмов равна логарифму произведения
log_(x+3) (3x^2) <= log_(x+3) (x+4)
Область определения
{ x+3>0
{ x+3=/=1
{ x+4>0
В итоге x€(-3;-2)U(-2;+oo)
Если x€(-3;-2), то функция логарифма убывающая.
3x^2>=x+4
3x^2-x-4>=0
(x+1)(3x-4)>=0
x€(-oo;-1)U(4/3;+oo)
С учётом обл. Определения
x€(-3;-2)
Если же x€(-2;+oo), то функция возрастающая.
3x^2<=x+4
3x^2-x-4<=0
(x+1)(3x-4)<=0
x€(-1;4/3)
С учётом обл. Определения
x€(-1;4/3)
Ответ: x€(-3;-2)U(-1;4/3)
7) Замена
{ log4(y)=a
{ 3^x=b
По свойствам логарифмов
log4(y^(1/3))=1/3*log4(y)=a/3
log4(y^3)=3log4(y)=3a
По свойствам степеней
(1/3)^(-3x)=3^(3x)=b^3
(1/3)^(-x)=3^x=b
9^(x+1)=9*3^(2x)=9b^2
Подставляем
{ (a/3)^3-b^3=-9
{ a^2+3ab=27-9b^2
Получаем
{ a^3-27b^3=-9*27=-243
{ a^2+3ab+9b^2=27
Разложим разность кубов
{ (a-3b)(a^2+3ab+9b^2)=-243
{ a^2+3ab+9b^2=27
Получаем
a-3b=-243/27=-9
a=3b-9
Подставляем
(3b-9)^2+3b(3b-9)+9b^2=27
9b^2-54b+81+9b^2-27b+9b^2-27=0
3b^2-9b+6=0
b^2-3b+2=0
(b-1)(b-2)=0
b1=3^x=1; x1=0;
a1=log4(y)=3b-9=-6; y1=4^(-6)
b2=3^x=2; x2=log3(2);
a2=log4(y)=3b-9=-3; y2=4^(-3)
Найдём d.
a(6)=a(3)+3d
2,5=-5+3d
3d=7,5
d=0,4
a(1)=a(3)-2d
a(1)=-5-0,8
a(1)=-5,8
S(5)=-5,8+a(5)/2×5=
-5,8+(-5)/2×5=-10,8/2×5= -5,4×5=-27
S(5)=-27