Question

Как это решать??????

Answer 1

Так как $28^{x}\ \textless \ 17^{x}$, значит x<0.
Сделаем замену $t = 5^{x}$
Но, так как x<0, то новая переменная ограниченна нулем слева и единицей справа, т.е. $0\ \textless \ t\ \textless \ 1$.
Имеем: $t+ \frac{1}{t}=13$
Умножим на t обе части уравнения:
$t^{2}+1=13t,$
$t^{2}-13t+1=0, D=(13)^{2}-4*1*1=169-4=165\ \textgreater \ 0,$
$t_{1}= \frac{13- \sqrt{165} }{2}$
$t_{2}= \frac{13+ \sqrt{165} }{2}$
Так как $t_{2} \ \textgreater \ 1$, то имеем один корень уравнения, т.е. $5^{x} = \frac{13- \sqrt{165} }{2}$.
Найдем значение выражения $5^{-x} - 5^{x}$
$5^{-x} - 5^{x} = \frac{1}{ 5^{x} }- 5^{x} =\frac{1}{\frac{13- \sqrt{165} }{2} } - \frac{13- \sqrt{165} }{2} =\frac{2}{13- \sqrt{165}} -\frac{13- \sqrt{165} }{2} =$
$=\frac{2(13+\sqrt{165})}{(13- \sqrt{165})(13- \sqrt{165})} -\frac{13- \sqrt{165} }{2} =\frac{2(13+\sqrt{165})}{13^{2}- (\sqrt{165})^{2}} -\frac{13- \sqrt{165} }{2} =$
$=\frac{2(13+\sqrt{165})}{169- 165} -\frac{13- \sqrt{165} }{2} =\frac{2(13+\sqrt{165})}{4} -\frac{13- \sqrt{165} }{2} = \frac{13+ \sqrt{165} }{2}- \frac{13-\sqrt{165} }{2}=$
$= \frac{13+ \sqrt{165} -13+ \sqrt{165} }{2} = \frac{2\sqrt{165} }{2} =\sqrt{165}$
Ответ: $5^{-x} - 5^{x} =\sqrt{165} .$

Answer 2

Решим первое уравнение.
5^x=t>0;
t+(1/t)=13;
t^2-13t+1=0;
t_1=(13+√165)/2; t^2= (13-√165)/2;
x_1=log_5((13+√165)/2)>0
x_2=log_5((13-√165)/2)<0

Решим второе неравенство
28^x<17^x. Специалист, конечно сразу даст ответ, ну а мы немного помучаемся. (28/17)^x<(28/17)^0;
так как 28/17>1, это неравенство равносильно x<0⇒ из двух корней первого уравнения выберем второй.

Требуется найти 5^(-x_2)-5^(x_2)=1/t_2 - t_2=
2/(13-√165)-(13-√165)/2=(2(13+√165)/(169-165)-(13-√165)/2=√165