Question

Знайти інтеграл (x*sin(x))/(cos^2(x))dx

Answer 1

$\int \frac{x\cdot sinx}{cos^2x}dx=[\, u=x\; ,\; du=dx\; ,dv=\frac{sinx}{cos^2x}dx\; ,\\\\v=\int \frac{sinx\cdot dx}{cos^2x}=-\int \frac{d(cosx)}{cos^2x}=-\frac{(cosx)^{-1}}{-1}=\frac{1}{cosx}\, ]=\\\\=uv-\int v\cdot du=\frac{x}{cosx}-\int \frac{dx}{cosx}= \frac{x}{cosx} -\int \frac{cosx\, dx}{cos^2x}=\\\\=\frac{x}{cosx}-\int \frac{cosx\, dx}{1-sin^2x} =\frac{x}{cosx}+\int \frac{d(sinx)}{sin^2x-1}=\\\\=\frac{x}{cosx}+\frac{1}{2}\cdot ln\left |\frac{sinx-1}{sinx+1}\right |+C$