Question

Помогите с логарифмами , 1 задание вычислите ( все) и записать как это получилось

Answer 1

$1)\quad log_{a}a=1\; ,\; log_{a}1=0\; ,\; log_{a}a^5=5\cdot log_{a}a=5\; ,\\\\log_{a}\frac{1}{a}=log_{a}a^{-1}=-1\cdot log_{a}a=-1\; ,\\\\log_{a}\sqrt{a}=log_{a}a^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot log_{a}a=\frac{1}{2} \\\\log_{a}\sqrt[5]{a^3}=log_{a}a^{\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}\cdot log_{a}a=\frac{3}{5}\\\\2)\quad log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=log_{2^{-1}}2^{-2}=-2\cdot \frac{1}{-1}\cdot log_22=2\\\\log_{\frac{1}{2}}2=-log_22=-1\\\\log_{\frac{1}{2}}1=0\\\\log_{\frac{1}{2}}8=-log_22^3=-3\cdot log_22=-3$

$log_{\frac{1}{2}}\sqrt2=-log_22^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}log_22=-\frac{1}{2}\\\\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt2}{2}=-log_22^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\\\\3)\quad log_327=log_33^3=3\cdot log_33=3\\\\log_3\frac{1}{9}=log_33^{-2}=-2\\\\log_9\frac{1}{27}=log_{3^2}3^{-3}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot log_33=\frac{3}{2}\\\\log_2\sqrt2=log_22^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\\\\log_2\frac{1}{\sqrt2}=log_22^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\\\\log_{\sqrt2}4=log_{2^{\frac{1}{2}}}2^2=\frac{1}{1/2}\cdot 2\cdot log_22=4$

$log_{\sqrt5}\sqrt[4]{125}=log_{5^{\frac{1}{2}}}5^{\frac{3}{4}}=\frac{1}{1/2}\cdot \frac{3}{4}\cdot log_55=\frac{3}{2}\\\\\\P.S.\quad log_{a}{x^{k}}=k\cdot log_{a}x\; ;\; \; \; log_{a^{k}}x=\frac{1}{k}\cdot log_{a}x\\\\(a>0,\; a\ne 1\; ,\; x>0)$