Question

Костя ищет пять различных простых чисел таких что сумма трёх из них - тоже простое число. Докажите, что такого набора не существует

Answer 1

Рассмотрим остатки при делении на три.Если мы нашли простые числа,которые дают одинаковые остатки на 3,то задача решена,поскольку,если у них остатки соответственно равны r,r,r,то тогда сумма остатков равно 3r,что кратно 3,то есть дают нулевой остаток при делении на три ,и сумма любых 3 простых чисел больше трех,так наименьшие простые числа это 2 3 5,сумма которых точно больше 3.

То есть кратны 3,и их сумма имеет вид 3k ,где k>1,k-целое.

Теперь предположим,что мы не нашли таких чисел. Тогда заметим,что найдется тогда три числа ,дающие разные остатки при делении на 3,так как если это не так,то каждого вида остатков не более двух(если их хотя бы 3,то это первый случай),а всего видов не более двух(при делении на три есть три различные остатки 0,1,2,одного у нас нет),то есть чисел не более чем 2*2=4,а у нас их 5.

Тогда мы нашли числа,дающие различные остатки при делении на 3.То есть это 0 1 и 2. Но сумма остатков 0+1+2=3,что кратно 3,то есть сумма исходных чисел кратны 3,и больше 3.

Противоречие. Значит,такого набора не существует.