Если человек работает без оформления, то он может легко уволиться от своего работодателя, даже если это частное лицо.
Самое первое, скажите руководителю, что Вы нашли работу, ближе к дому, и Вас берут на работу с оформлением по трудовой книжке.
Также, можно сказать, что Вы уезжаете жить в другой город по своим семейным проблемам.
Можно сказать, что нужно уехать на несколько месяцев, по делам, и не знаете когда вернётесь, при этом не хотите сохранять за собой рабочее место.
Конечно, я не общалась с вашим работодателем, и трудно подбирать слова, когда его не видел, но все же скажите главную причину вашего ухода.
Вас должны понять, и легко отпустить при этом оплатив все рабочие дни. Желаю удачи.