Пример
Последовательность монотонно стремится к нулю, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится. Найдем
Выпишу формулу Эйлера)))) Пусть . Эйлер получил асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:
где - постоянная Эйлера, при значение
Следовательно,
- последовательность частичных сумм данного ряда.
Это мы показали что тот ряд равен ln 2. Теперь перейдем к нашем заданию.
В силу примера, что мы показали в начале, мы получим
Первые две скобки - ряда сходятся, теперь нужно показать что последнее тоже сходится. Рассмотрим ряд
Пусть a > b, тогда
Тут (Sn) - последовательность частичных сумм исследуемого ряда.
Прибавляя и вычитая в выражение слагаемое, мы получим
По формуле Эйлера
Переходя к пределу при n стремящихся к бесконечности, мы получим
Для аналогичным образом получается тот же результат. В частности если a = 2, b = 1, получим
А) 535,8 кг/см^6
Разберёмcя с единицей измерения см^6.
Надо, чтобы вместо см появились м
см^6 = (0,01м)^6= 0,01^6 м^6
Теперь само число: 535,8 кг/см^6 = 535,8кг/0,01^6 м^6= 535,8·100^- 6 кг/м^6=
=5,358 ·10^- 4 кг/м^6 ( 0,01)^6 = 100^-6
б) 850 мм^8
Разберёмcя с единицей измерения мм^8.
Надо, чтобы появились м^8
Учитываем, что 1м = 100см = 1000мм, 1мм = 0,001 м
Теперь само число:
850 мм^8 = 850·(0,001)^8 м^8= 850· 1000^-8 м^8 = 8,5·10^6 м^8
в) 2500 г/см^3
Теперь понятно, что граммы надо заменить килограммами,
а см перевести в м³. 1г = 0,001кг. 1см = 0,01м
Теперь само число:
2500 г/см^3 = 2500·(0,001)м/(0,01)^3м^3 = 2500·10^-9 г/м^3=2,5· 10^-7г/м^3
г) 8,5 кн/мм^2 = 8,5·10 н/(0,001)^2 м:2 =8,5·10·10^-6н/м^2= 8,5·10^-5 н/м^2
Возьмем второй пример, необходимо запомнить,что знаменатель никогда не должен быть равен 0, вот мы в ОДЗ и указываем, что наши знаменатели не равны 0, т.е.
это значит, что 5 и (-5) не могут являться корнями нашего уравнения и если они найдутся при решении их нужно исключить
а² – b² = 2017
а² – b² = (а – b) * (а + b)
(а – b)
* (а + b) = 2017
Число 2017 простое, поэтому имеет только два натуральных делителя
1 и 2017.
2017 = 1 * 2017
Поэтому
(а – b) * (а + b) = 1 * 2017
Имеем систему
{а + b = 2017
{а – b = 1
Из второго уравнения получим
а = b
+ 1
Подставим в первое уравнение
(b + 1) + b = 2017
2 b = 2017 - 1
2 b = 2016
b =
2016 : 2
b =
1008
а = 1008 + 1 = 1009
Проверка чисел а = 1009;
b = 1008
1009² – 1008² = 2017
1018081 – 1016064 = 2017
2017 = 2017
Ответ: существует только 1 вариант натуральных чисел разность
квадратов которых равна числу 2017. Это числа 1008 и 1009.