Question

Найти определенный интеграл
x* arctg x dx, предел интегрирования от 0 до 1

Answer 1

Интегрируем по частям неопределенный интеграл:
$\int {x*arctgx} \, dx$
u=arctgx => $du= \frac{dx}{1+x^2}$
dv=xdx => $v= \frac{x^2}{2}$
$\int (udv) =uv-\int (vdu)$
$\int { \frac{x^2}{2} *arctgx- \frac{1}{2}* \int \frac{x^2dx}{1+x^2} } = \frac{1}{2} (x^2*arctgx-\int dx+\int \frac{dx}{1+x^2} )=\\= \frac{1}{2}(x^2*arctgx-x+acrtgx )+C= \frac{(x^2+1)*arctgx-x}{2} +C$
теперь решаем определенный интеграл:
$\int\limits^1_0 {x*arctgx} \, dx=(\frac{(x^2+1)*arctgx-x}{2} )\int\limits^1_0= \frac{2*arctg(1)-1}{2} - \frac{arctg(0)-0}{2} = \frac{ \frac{\pi}{2}-1}{2}\\= \frac{\pi-2}{4}$

Answer 2

.............................................................................