Question

Доказать тождество: sin⁡α/(1+ctg(_^2)α )+cos⁡α/(1+tg(_^2)α )=(sin⁡α+cos⁡α )(1-sin⁡α cos⁡α )

Answer 1

$\frac{sina}{1+ctg^2a}+\frac{cosa}{1+tg^2a}=\frac{sina}{\frac{1}{sin^2a}}+\frac{cosa}{\frac{1}{cos^2a}}=sin^3a+cos^3a=\\\\=(sina+cosa)(sin^2a-sina\cdot cosa+cos^2a)=(sina+cosa)(1-sina\cdot cosx)$

Answer 2

$\frac{\sin\alpha}{1+ctg^2\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}+\frac{\cos\alpha}{1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\sin^3\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}+\frac{\cos^3\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=\\\\=\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)(\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)=\\=(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)$

Ч.Т.Д.

P.S. В конце использована формула сокращенного умножения сумма кубов.