Докажем математической индукцией , если при
![n](https://tex.z-dn.net/?f=%20n)
оно верно ,то и
![n+1](https://tex.z-dn.net/?f=n%2B1)
так же должно выполнятся
значит
![\frac{n+2}{2n+2}*(1-\frac{1}{(n+2)^2})](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2n%2B2%7D%2A%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n%2B2%29%5E2%7D%29)
должно быть равно
Значит утверждение верное
Вынесем общий множитель за скобки
122^10-122^9=122^9×(122-1)=122^9×121
т.к. 11^2=121, то очевидно, что выражение 122^9×121 будет кратно 11^2, т.к. в составе выражения есть множитель 121
используя основные тригонометрические тождества
![\frac{1-sin^2 a}{cos^2 a}=\frac{cos^2 a}{cos^2 a}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-sin%5E2+a%7D%7Bcos%5E2+a%7D%3D%5Cfrac%7Bcos%5E2+a%7D%7Bcos%5E2+a%7D%3D1)
![\frac{1-cos^2 a}{1-sin^2 a}=\frac{sin^2 a}{cos^2 a}=tg^2 a](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-cos%5E2+a%7D%7B1-sin%5E2+a%7D%3D%5Cfrac%7Bsin%5E2+a%7D%7Bcos%5E2+a%7D%3Dtg%5E2+a)
![(1+tg^2 a)*cos^2 a-sin^2 a=\frac{1}{cos^2 a}*cos^2 a-sin^2 a=1-sin^2 a=cos^2 a](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Btg%5E2+a%29%2Acos%5E2+a-sin%5E2+a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2+a%7D%2Acos%5E2+a-sin%5E2+a%3D1-sin%5E2+a%3Dcos%5E2+a)
![(1+ctg^2 a)*sin^2 a-cos^2 a=\frac{1}{sin^2 a}*sin^2 a-cos^2 a=1-cos^2 a=sin^2 a](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bctg%5E2+a%29%2Asin%5E2+a-cos%5E2+a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%5E2+a%7D%2Asin%5E2+a-cos%5E2+a%3D1-cos%5E2+a%3Dsin%5E2+a)