Question

Решите с помощью замены переменной уравнения (x^2-2x)^2-9=0 (x^2-2x)^2+2(x^2-2x)-15=0 3x^2+1-2(корень из 3x^2+1)=0

Answer 1

1) (x² - 2x)² - 9 = 0
Пусть а = х² - 2х.
а² - 9 = 0
(а - 3)(а + 3) = 0
а = 3
а = -3
Обратная замена:
х² - 2х = 3
х² - 2х = -3

х² - 2х - 3 = 0
х² - 2х + 3 = 0

Для первого уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
х1•х2 = -3

х1 = 3; х2 = -1

Для второго уравнения:
D = 2² - 3•4 = 4 - 12 = -8 =. нет корней.
Ответ: х = -1; 3.

2) (х² - 2х)² + 2(х² - 2х) - 15 = 0
Пусть b = x² - 2x.
b² + 2b - 15 = 0
По обратной теореме Виета:
b1 + b2 = -2
b1•b2 = -15

b1 = -5; b2 = 3.
Обратная замена:
x² - 2x = -5
x² - 2x = 3

x² - 2x + 5 = 0
x² - 2x - 3 = 0

Для первого уравнения:
D = 2² - 5•4 = 4 - 20 = -16 => нет корней.

Для второго уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
x1•x2 = -3
x1 = -1; x2 = 3.

Ответ: х = -1; 3.

3) 3x² + 1 - 2√(3x² + 1) = 0
Пусть c = √(3x² + 1).
c² - 2c = 0
c² = 2c
c = 0
c = 2
Обратная замена:
√(3x² + 1) = 0
√(3x² + 1) = 2

3x² + 1 = 0
3x² + 1 = 4

3x² = -1
3x² = 3

Первое уравнение не имеет действительных корней.
3x² = 3
x² = 1
x = ±1.

Ответ: х = -1; 1.