Перебором, конечно, можно решить любой криптарифм.
Но перебирать придётся миллионы вариантов (в этой задаче -- 3 628 800, если быть точными), для человека это не очень возможно, а писать компьютерные программы для решения криптарифмов -- как-то неинтересно.
Поэтому -- расскажу, как решить эту задачу без полного перебора. Перебирать, конечно, всё равно придётся, и немало, но это возможно.
Ответ см. в конце.
Наверное, никто до конца не дочитает, но пусть будет.
<hr />
ПЯТЬ можно записать как П000+ЯТЬ, ДЕСЯТЬ -- как ДЕС000+ЯТЬ.
Значит, ПЯТЬ*ДВА=ДЕСЯТЬ = (П000+ЯТЬ)*ДВА=ДЕС00<wbr />0+ЯТЬ. Раскроем скобки, попереносим что-нибудь в разные части, получим
ЯТЬ*ДВА - ЯТЬ = ДЕС000 - П000*ДВА или
ЯТЬ(ДВА-1)=1000(ДЕС-<wbr />ДВА*П)
Заметим, что слева точно положительное число, значит, и справа должно быть положительное, значит, ДЕС-ДВА*П положительно, а значит, П=1. (Нулём П не может быть, т.к. это первая цифра в числе ПЯТЬ, если П>1 -- ДВА*П будет больше ДЕС.
Получаем
ЯТЬ(ДВА-1)=1000*(ДЕС<wbr />-ДВА)
Или
ЯТЬ(ДВА-1)=1000(ЕС-В<wbr />А)
ЯТЬ(ДВА-1) делится на 1000, то есть на 125 и 8, значит, либо какой-нибудь из двух множителей (ЯТЬ или (ДВА-1)) делится на 10, либо какой-нибудь делится на 125, а другой на 8. Рассмотрим все варианты.
Пусть ЯТЬ или (ДВА-1) делится на 10. ДВА-1 не может делиться на 10, потому что тогда А=1, но цифра 1 уже "занята". Значит, ЯТЬ делится на 10, то есть Ь=0.
Имеем:
ЯТ0(ДВА-1)=1000(ЕС-В<wbr />А)
Разелим на 10 обе части:
ЯТ(ДВА-1)=100(ЕС-ВА)
ДВА-1 на 10 делиться на может, ЯТ тоже (потому что тогда Т=0, но ноль уже занят), значит, что-то из них делится на 25, а что-то -- на 4.
Пусть ЯТ делится на 25, тогда ЯТ может быть равно 25 или 75. (50 не годится, потому что делится на 10, 00 тоже не подходит).
Пусть ЯТ=25. Подставим всё, что знаем, в изначальные условия: 1250*ДВА=ДЕС250. Заметим, что ДВА>340: Д>=3, потому что цифры 1 и 2 заняты, если Д=3, то В>=4. Но 1250*340=425000 -- первая цифра в правой части уже больше, чем 3. Если ДВА>340, первая цифра в правой части будет 4 или больше, но она должна быть равна Д, значит, Д не может быть равно трём. Значит, Д -- 4 или больше. Значит, ПЯТЬ*ДВА > 1250*Д00 > 1000*Д00 + 250*Д00 > Д00 000 + 250*400 = Д0 000 + 10 000, первая цифра уже больше Д, а дожна быть равна. Значит, ЯТ не равно 25.
Пусть ЯТ=75. Имеем 1750*ДВА=ДЕС750. Д >= 2. Значит, 1750*ДВА > 1750*Д00 = 1000*Д00 + 750*Д00 > Д00 000 + 750*200 = Д00 000 + 150 000, опять первая цифра больше Д, значит, ЯТ не равно 75.
Пусть ДВА-1 делится на 25. Тогда ДВА заканчивается на 26 или 76. (На 01 или 51 не может, потому что 1 уже занят).
ДВА не может быть равно 126, 176 и 226: 1 занят, две двойки тоже не могут быть. Значит, ДВА >= 276.
Пусть ДВА-1=x*25 (здесь x -- не цифра, а число, может быть двузначным). x >= 275/25=11.
Пусть ДВА заканчивается на 76.
Разделим обе части равенства на 25, получим
ЯТ*x=4*(ЕС-76).
ЯТ>10 (Я не может быть нулём, ноль уже занят); ЯТ*х>110. ЕС<99, ЕС-76<23, 4*(ЕС-76)<4*23<100 -- значит, равенства быть не может.
Пусть ДВА заканчивается на 26, начнём перебирать.
Пусть ДВА-1=325=13*25.
ЯТ*13=4(ЕС-26)
ЕС-25 делится на 13.
Перебираем варианты, чему равно ЕС: 39(26+13), 52, 65, 78, 91. Все, кроме 78, точно не подходят, потому что используем занятые цифры. 78 тоже не подходит, потому что если ЕС=78, ЯТ=4(78-26)/13=4*6=2<wbr />4, 2 занято.
Пусть ДВА-1=425=25*17.
ЯТ*17=4*(ЕС-26)
ЕС-26 делится на 17.
Перебираем варианты для ЕС: 43, 60, 77, 94. Ничего не подходит -- везде используем занятые цифры.
Пусть ДВА-1>=525, тогда x>=525/25=21, ЯТ = 4*(ЕС-26)/х <= 4*(ЕС-26)/21 < 4*(99-26)/21 = 4*73/21 < 4*77/21 = 44/3 < 15, Я = 0 или 1 -- но эти цифры заняты.
Значит, этот вариант не подходит, и вообще путь "Ь=0" оказался тупиковым.
Возвращаемся к ЯТЬ(ДВА-1)=1000(ЕС-В<wbr />А)
Либо ЯТЬ делится на 125, а ДВА-1 на 8, либо наобоот.
Пусть ЯТЬ делится на 125. ЯТЬ не равно 125 (потому что 1 уже занято) и 250 (потому что мы уже поняли, что Ь -- не ноль), значит, ЯТЬ >= 375=125*3. Пусть ЯТЬ=125*x
Разделим обе части на 125.
(ДВА-1)x=8*(ЕС-ВА). ДВА-1 = 8*(ЕС-ВА)/x < 8*99/x = 8*99/3 = 8*33 = 264. Значит, Д <= 2, Д не может быть 0 или 1, значит, Д=2, значит, ДВА-1>200, значит, 8*(ЕС-ВА)/х>200, х < 8*(ЕС-ВА)/200 < 8*100/200 < 4, остаётся только x=3, проверим.
ЯТЬ=125*3=375
(2ВА-1)*3=8*(ЕС-ВА)
2ВА-1 делится на 8, начнём перебирать, чему может быть равно 2ВА-1: 208, 216, 224, 232 -- не годится, для В используются занятые цифры. 240 -- не годится, тогда ДВА=241, 1 занято. 248 -- сейчас проверим. 256 не годится, потому что 5 уже занято, дальше 2ВА-1 будет больше 264>260, а мы доказали, что так не бывает.
Пусть 2ВА-1=248, то есть ВА=49.
248*3=8*(ЕС-49)
91=ЕС-49, ЕС>100, так не бывает.
Значит, ЯТЬ делится на 8, а ДВА-1 на 125.
Переберём все возможные значения ДВА-1: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875. Те, что делятся на 10, выкидываем сразу. 125 не годится, потому что 1 уже занято, 625 не годится, потому что тогда ДВА=626, 6 используется дважды. Остаются 375 и 875.
Пусть ДВА-1=875 = 125*7.
Разделим обе части равенства (ДВА-1)*ЯТЬ=1000*(ЕС<wbr />-ВА) на 125.
ЯТЬ*7=8*(ЕС-76), ЯТЬ = 8*(ЕС-76)/7 < 8*24/7 < 8*28/7=32. Значит, Я=0. ТЬ делится на 8, оно может быть равно 08, 16 или 24 (дальше уже >=32). 08 и 16 не годятся, используются занятые цифры. Остаётся ТЬ=24.
24*7=8*(ЕС-76)
ЕС-76=21
ЕС=97, но 7 уже занято.
Остаётся последний вариант: ДВА-1=375, то есть ДВА=376.
375*ЯТЬ=1000*(ЕС-76)
Делим на 125.
3*ЯТЬ=8*(ЕС-76)
ЯТЬ=8*(ЕС-76)/3 < 8*24/3=64, Я=0, перебираем ТЬ: 08, 16 -- не годится, 24 -- потом проверим, 32, 40, -- не годится, 48 -- проверим, 56 -- не годится, дальше уже >= 64.
Пусть ТЬ=48.
3*48=8*(ЕС-76)
ЕС-76=18
ЕС=94, 4 используем второй раз, нельзя.
Наконец, самый последний вариант: ТЬ=24.
3*24=8(ЕС-76)
ЕС-76=9
ЕС=85
Проверяем: ДВА*ПЯТЬ=376*1024=<wbr />385024=ДЕСЯТЬ.
Ура, мы нашли решение! И заодно доказали, что других нет.
