Косинус двойного угла равен: cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
Подставим в заданное уравнение.
2cos²(x) - 1 + 0,1cos(x) = 0.
Заменим cos(x) на t.
Имеем квадратное уравнение 2t² + 0,1t - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=0.1^2-4*2*(-1)=0.01-4*2*(-1)=0.01-8*(-1)=0.01-(-8)=0.01+8=8.01;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√8.01-0.1)/(2*2)=(√8.01-0.1)/4=√8.01/4-0.1/4=√8.01/4-0.025 ≈ 0,682549t_2=(-√8.01-0.1)/(2*2)=(-√8.01-0.1)/4=-√8.01/4-0.1/4=-√8.01/4-0.025≈ -0,732549.
Обратная замена: х = arc cos(t).
Общий вид решения уравнения <span>cos x = a, где </span>|<span> a </span>| ≤ 1, определяется формулой:
x<span> = ± arccos(a) + 2πk,</span> k ∈ Z (целые числа).
Ответ: х₁,₂ = ± arccos(0,682549) + 2πk = ± 0,819552 + 2πk, k ∈ Z (целые числа).
x₃ = ± arccos(-0,732549) + 2πk = -0,74874 + 2πk, k ∈ Z (целые числа). Это с учётом, что отрицательные значения косинуса для функции arc cos(x) приняты считать в четвёртой четверти.
Можно это же значение дать через положительное направление углов:
x₃ = ± arccos(-0,732549) + 2πk = 2,392855 + 2πk, k ∈ Z (целые числа).
