Question

Доказать по определению предела последовательности : lim (n/3 + 1) = oo n->oo lim ( 1 - n^2) = -oo n->oo

Answer 1

1) Пусть Е - сколь угодно большое положительное число. Нужно доказать, что найдётся такое n=N, что при n>N будет n/3+1>E. Решая неравенство n/3+1>E, находим n/3>E-1, откуда n>3*(E+1).  Но так как n⇒∞, то такое значение n=N всегда (то есть при любом Е) найдётся. Тем более это неравенство будет справедливо для всех ещё больших значений  n>N. А это и значит, что lim(n/3+1)=∞.

2) Пусть Е - сколь угодно большое по модулю отрицательное число. Нужно доказать, что найдётся такое n=N, что при n>N будет 1-n²<E. Это неравенство равносильно неравенству n²>1-E, или n>√(1-E). Так как 1-E>0 и n⇒∞, то такое значение n=N  всегда найдётся. Тем более это неравенство справедливо для всех ещё больших значений n>N. А это и значит, что lim(1-n²)=-∞.