Пример
Последовательность
монотонно стремится к нулю, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится. Найдем ![S_{2n}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B2n%7D)
![S_{2n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\\ \\ =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2n}-\Bigg(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}\Bigg)~~\boxed{=}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B2n%7D%3D1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D-...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2n-1%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2n%7D%3D%5C%5C%20%5C%5C%20%3D1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2n%7D-%5CBigg%281%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5CBigg%29~~%5Cboxed%7B%3D%7D)
Выпишу формулу Эйлера)))) Пусть
. Эйлер получил асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:
![H_n=\ln n+C+\varepsilon_n](https://tex.z-dn.net/?f=H_n%3D%5Cln%20n%2BC%2B%5Cvarepsilon_n)
где
- постоянная Эйлера, при
значение ![\varepsilon_n\to0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvarepsilon_n%5Cto0)
![\boxed{=}~~C+\ln 2n+\varepsilon_{2n}-\Big(C+\ln n+\varepsilon_n\Big)=\ln 2+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_{n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%3D%7D~~C%2B%5Cln%202n%2B%5Cvarepsilon_%7B2n%7D-%5CBig%28C%2B%5Cln%20n%2B%5Cvarepsilon_n%5CBig%29%3D%5Cln%202%2B%5Cvarepsilon_%7B2n%7D-%5Cvarepsilon_%7Bn%7D)
Следовательно, ![\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_n= \lim_{n \to \infty} S_{2n}=\ln 2+0-0=\ln2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20S%3D%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20S_n%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20S_%7B2n%7D%3D%5Cln%202%2B0-0%3D%5Cln2)
- последовательность частичных сумм данного ряда.
Это мы показали что тот ряд равен ln 2. Теперь перейдем к нашем заданию.
![1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-...-\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}+\\ \\ \\ +...+\dfrac{1}{4b-1}-...](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a-1%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D-...-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2b%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a%2B3%7D%2B%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4b-1%7D-...)
В силу примера, что мы показали в начале, мы получим
![1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2a-1}-\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2b}\bigg)+\\ \\ \\ +\bigg(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}+...+\dfrac{1}{4b-1}\bigg)-...](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a-1%7D-%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2b%7D%5Cbigg%29%2B%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%2B%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2a%2B3%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4b-1%7D%5Cbigg%29-...)
Первые две скобки - ряда сходятся, теперь нужно показать что последнее тоже сходится. Рассмотрим ряд
![\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\bigg(\dfrac{1}{2(n-1)a+1}+\dfrac{1}{2(n-1)a+3}+...+\dfrac{1}{2na-1}-\\ \\ \\ -\dfrac{1}{2(n-1)b+2}-\dfrac{1}{2(n-1)b+4}-...-\dfrac{1}{2nb}\bigg)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bn%3D1%7D%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%28n-1%29a%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%28n-1%29a%2B3%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2na-1%7D-%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%28n-1%29b%2B2%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%28n-1%29b%2B4%7D-...-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%7D%5Cbigg%29)
Пусть a > b, тогда
![S_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2nb}+\dfrac{1}{2nb+1}+\dfrac{1}{2nb+3}+...+\dfrac{1}{2nb-3}](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%2B3%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb-3%7D)
Тут (Sn) - последовательность частичных сумм исследуемого ряда.
Прибавляя и вычитая в выражение слагаемое, мы получим
![S_n=\dfrac{1}{2nb+2}+\dfrac{1}{2nb+4}+...+\dfrac{1}{2na}=\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{1}{nb+1}+\dfrac{1}{nb+2}+...+\dfrac{1}{na}\bigg)](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%2B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2nb%2B4%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2na%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7Bnb%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bnb%2B2%7D%2B...%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bna%7D%5Cbigg%29)
По формуле Эйлера
![S_n=C_{2na}+\ln\dfrac{2na}{2nb}-\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{na}{nb}+\delta_n](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3DC_%7B2na%7D%2B%5Cln%5Cdfrac%7B2na%7D%7B2nb%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%5Cdfrac%7Bna%7D%7Bnb%7D%2B%5Cdelta_n)
Переходя к пределу при n стремящихся к бесконечности, мы получим ![\ln \dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}\ln \dfrac{a}{b}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D)
Для
аналогичным образом получается тот же результат. В частности если a = 2, b = 1, получим
![1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{4}+...\dfrac{3}{2}\ln\dfrac{2}{1}=\dfrac{3}{2}\ln2](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B7%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B...%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cln%5Cdfrac%7B2%7D%7B1%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cln2)
-40х (в кв.)-64х (в кв.)+25х+40х=0;
-104х (в кв.)+65х=0;
-13х (8х+5)=0;
х1=0;х2=-0,625
Два автомобиля выехали навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 500 км.
Скорость первого 60, а второго в х раз меньше. Чему равно х, если они встретились через 5 часов?
<span>60 - скорость первого. </span>
60:х - скорость второго.
500:(60+60:х)=5
(60+60:х)= 100
60:х=40
х=1,5
<span>ответ:1,5</span>
Х раб/день - производительность І рабочего
у раб/день - произв. ІІ раб.
1 - вся работа
(х+у)*3=1 }
1\3у=1/2х }
3х+3у=1 }
у=1/2х:1/3=1 1/2х } , подставим значение у в первое уравнение:
3х + 3* 1 1\2х=1
3х+ 4 1/2х=1
7 1/2х=1
х=2/15(раб/день) - производительность І рабочего
1:2/15=15/2=7 1/2 (дней) - выполнит работу І рабочий, работая отдельно.
Подставляем x = 8; y = 11. Должно получиться тождество.
11 = k * 8 + 15
8k = -4
k = -1/2