Question

- задача средней сложности, 11 класс

Answer 1

$\left \{ {{log_{x} \frac{y}{a} =b} \atop {log_{y}\frac{x}{b}=a}} \right. \; ,\quad ODZ: \left \{ {{y\ \textgreater \ 0,\; y\ne 1,x\ \textgreater \ 0,\; x\ne 1} \atop {a\ne 0,\; b\ne 0}} \right. \\\\1)\; \; log_{x} \frac{y}{a}=b\; \; \Rightarrow \; \; \frac{y}{a}=x^{b}\; ,\; y=a\cdot x^{b}\\\\2)\; \; log_y} \frac{x}{b}=a\; \; \Rightarrow \; \; \frac{x}{b}=y^{a}\; ,\; \; x=b\cdot y^{a}\; ,\; x=b\cdot (ax^{b})^{a}\; ,\\\\x=b\cdot a^{a}\cdot x^{ab}\; ,\; \; x-a^{a}\cdot b\cdot x^{ab}=0\; ,\\\\x\cdot (1-a^{a}\cdot b\cdot x^{ab-1})=0$

$a)\; \; x=0\notin ODZ\; (x\ \textgreater \ 0)\\\\b)\; \; 1-a^{a}\cdot b\cdot x^{ab-1}=0\\\\1=a^{a}\cdot b\cdot x^{ab-1}\\\\x^{ab-1}= \frac{1}{a^{a}\cdot b}\; \; \Rightarrow \; \; x=(\frac{1}{a^{a}\cdot b})^{\frac{1}{ab-1}} \; ,\; \; x=(a^{a}\cdot b)^{-\frac{1}{ab-1}}\\\\ y=a\cdot x^{b}=a\cdot \Big ((a^{a}\cdot b)^{-\frac{1}{ab-1}}\Big )^{b}=a\cdot (a^{a}\cdot b)^{-\frac{b}{ab-1}}=a\cdot (a^{a}\cdot b)^{\frac{b}{1-ab}}\\\\y=a^{ \frac{ab}{1-ab}+1 }\cdot b^{ \frac{b}{1-ab} }=a^{ \frac{ab+1-ab}{1-ab} } \cdot b^{\frac{b}{1-ab}}=a^{\frac{1}{1-ab}}\cdot b^{\frac{b}{1-ab}}$

$Otvet:\; \; x=(a^{a}\cdot b)^{-\frac{1}{ab-1} }=a^{\frac{a}{1-ab}}\cdot b^{\frac{1}{1-ab}}\; ,\; y=a^{{ \frac{1}{1-ab} }}\cdot b^{\frac{b}{1-ab}}\; .$