Question

Помогите решить систему с двумя неизвестными, пожалуйста

Answer 1

$\left \{ {{x^3+y^3=65} \atop {x^2y+xy^2=20}} \right. \\ \left \{ {{(x+y)(x^2-xy+y^2)=65} \atop {xy(x+y)=20}} \right.$
Пусть xy = a, x + y = b
Попробуем выразить неполный квадрат разности через a и b
$x+y=b \\ (x+y)^2=b^2 \\ x^2+2xy+y^2=b^2 \\ x^2+y^2=b^2-2xy \\ x^2+y^2=b^2-2a$
Тогда $x^2-xy+y^2=(x^2+y^2)-xy=b^2-2a-a=b^2-3a$
$\left \{ {{b(b^2-3a)=65} \atop {ab=20}} \right. \\ \left \{ {{b(b^2- \frac{60}{b})=65 } \atop {a= \frac{20}{b} }} \right. \\ \left \{ {{b^3-60=65} \atop {a= \frac{20}{b} }} \right. \\ \left \{ {{b^3=125} \atop {a= \frac{20}{b}}} \right. \\ \left \{ {{b=5} \atop {a=4}} \right. \\ \left \{ {{x+y=5} \atop {xy=4}} \right. \\ \left \{ {{y=5-x} \atop {x(5-x)=4}} \right. \\ \left \{ {{y=5-x} \atop {-x^2+5x-4=0}} \right. \\ \left \{ {{y=5-x} \atop {x^2-5x+4=0}} \right.$
$x^2-5x+4=0 \\ x_{1}=4, x_{2}=1$ (По теореме Виета подбираются)
$\left \{ {{x=4} \atop {y=1}} \right.$ или $\left \{ {{x=1} \atop {y=4}} \right.$

Ответ: (4; 1), (1; 4)