Question

Помогите срочно! Нужно с графиками, ставлю все свои баллы!
Найти площадь криволинейной трапеции, графиком функции :
1) $y=1-x^2$ , Осью Ox
2) $y=-x^2+3x-2$ , Осью Оx
3) $y=-x^2+4x-3$ , Осью Ox

Answer 1

///////////%///////////////%///////////

Answer 2

1)
функция  - парабола ветками вниз, поскольку перед $x$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:

$1-x^2=0$

$(1-x)(1+x)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $-1$ и $1$

вершина параболы $(x_0;y_0)$ - она же точка пересечения данной функции с осью ОУ:
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2*(-1)}=0$
$y_0=y(x_0)=1-0^2=1$

искомая площадь:
$S= \int\limits^{1}_{-1} {(1-x^2)} \, dx =x|^1_{-1}- \frac{x^3}{3}|^1_{-1}=1-(-1)- \frac{1^3-(-1)^3}{3}=2- \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

2)
функция  - парабола ветками вниз, поскольку перед $x$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:

$-x^2+3x-2=0$

$x^2-3x+2=0$

$x^2-x-2x+2=0$

$x(x-1)-2(x-1)=0$

$(x-2)(x-1)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $1$ и $2$

вершина параболы $(x_0;y_0)$:
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2*(-1)}=\frac{3}{2}$
$y_0=y(x_0)=-(\frac{3}{2})^2+3*\frac{3}{2}-2=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-2=\frac{-9+18-8}{4}=\frac{1}{4}$

искомая площадь:
$S= \int\limits^{2}_{1} {(-x^2+3x-2)} \, dx =- \frac{x^3}{3}|^2_{1}+ \frac{3x^2}{2}|^2_{1} -2x|^2_{1}=$

$=- \frac{2^3-1^3}{3}+ \frac{3(2^2-1^2)}{2} -2(2-1)= -\frac{7}{3}+ \frac{9}{2} -2= \frac{-14+27-12}{6}= \frac{1}{6}$

3)
функция  - парабола ветками вниз, поскольку перед $x$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:

$-x^2+4x-3=0$

$x^2-4x+3=0$

$x^2-x-3x+3=0$

$x(x-1)-3(x-1)=0$

$(x-3)(x-1)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $1$ и $3$

вершина параболы $(x_0;y_0)$:
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2*(-1)}=2$
$y_0=y(x_0)=-2^2+4*2-3=-4+8-3=1$

искомая площадь:
$S= \int\limits^{3}_{1} {(-x^2+4x-3)} \, dx =- \frac{x^3}{3}|^3_{1}+ \frac{4x^2}{2}|^3_{1} -3x|^3_{1}=$

$- \frac{x^3}{3}|^3_{1}+2x^2|^3_{1} -3x|^3_{1}=$

$=- \frac{3^3-1^3}{3}+2(3^2-1^2)-3(3-1)= -\frac{26}{3}+16-6=10-\frac{26}{3}=$

$\frac{30-26}{3}=\frac{4}{3}$