![y= \sqrt{2-x} \; \; \to \; \; y^2=2-x\; ,\; \; y^2=-(x-2)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Csqrt%7B2-x%7D+%5C%3B+%5C%3B+%5Cto+%5C%3B+%5C%3B+y%5E2%3D2-x%5C%3B+%2C%5C%3B+%5C%3B+y%5E2%3D-%28x-2%29)
Последнее уравнение - парабола, симметричная оси ОХ,
ветви которой направлены влево, вершина которой находится
в точке (2,0), пересекает ось ОУ в точке
![(0, \pm\sqrt{2})](https://tex.z-dn.net/?f=%280%2C+%5Cpm%5Csqrt%7B2%7D%29+)
.
Следовательно, уравнение
![y=\sqrt{2-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Csqrt%7B2-x%7D)
является
верхней ветвью этой параболы.
![y=x^2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E2)
- парабола, симметричная оси ОУ, ветви вверх,
вершина в точке (0,0).
Точки пересечения этих кривых:
![x^2=\sqrt{2-x}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D%5Csqrt%7B2-x%7D)
.
![x^4=2-x\; ,\; \; x^4+x-2=0\; \; \to \; \; x=1](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%3D2-x%5C%3B+%2C%5C%3B+%5C%3B+x%5E4%2Bx-2%3D0%5C%3B+%5C%3B+%5Cto+%5C%3B+%5C%3B+x%3D1)
Другие точки пересечения нас не интересуют, так как
из чертежа видно, что достаточно этой точки.
![V=\int _0^1(x^2)^2dx+\pi \int _1^2(\sqrt{2-x})^2dx=\pi \int _0^1x^4dx+\pi \int _1^2(2-x)dx=\\\\=\pi \cdot \frac{x^5}{5}\, |_0^1+\pi \cdot (2x-\frac{x^2}{2})|_1^2=\frac{\pi}{5}+\pi \cdot (4-2-2+\frac{1}{2})=\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi }{10}](https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cint+_0%5E1%28x%5E2%29%5E2dx%2B%5Cpi+%5Cint+_1%5E2%28%5Csqrt%7B2-x%7D%29%5E2dx%3D%5Cpi+%5Cint+_0%5E1x%5E4dx%2B%5Cpi+%5Cint+_1%5E2%282-x%29dx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cpi+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%7D%5C%2C+%7C_0%5E1%2B%5Cpi+%5Ccdot+%282x-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%29%7C_1%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%2B%5Cpi+%5Ccdot+%284-2-2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B7%5Cpi+%7D%7B10%7D)