На продолжении отрезка <span>AC</span><span> за точку </span>C<span> отметим точку </span>F<span> такую, что </span><span>CF=BE</span><span>. Тогда треугольники </span><span>ABE</span><span> и </span><span>DCF</span><span> равны по двум сторонам и углу между ними. В частности, </span><span>AE=DF</span><span>. Отсюда </span><span>BD=DF</span><span> (по условию). Но треугольник </span><span>BFD</span><span> симметричен относительно диагонали квадрата, поэтому </span><span>BF=DF</span><span>. Значит, у этого треугольника все стороны равны, поэтому углы равны 60 градусам. В частности, такова величина угла </span><span>BDF</span><span>. Поэтому на </span><span>CDF</span><span>приходится 60-45=15 градусов, а угол </span><span>BAE</span><span> ему равен.</span>
АВ - х, тогда ВС ( х-8). АС= АВ+ВС= х+х-8=2х-8
56=2х-8
2х=56+8
2х=64
х=32 - сторона АВ
ВС-32-8=24
Оажпщптж прошло элладской
Треугольники АВС и КВМ подобны, так как <B у них общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны: ВМ/ВС=ВК/АВ=1/3.Тогда отрезок МК=24*(1/3)=8.
По теореме косинусов в треугольнике АВС:
CosA=(AB²+AC²-BC²)/(2*АВ*AC) = (12²+24²-18²)/(2*12*24).
CosA=(720-324)/576=0,6875.
По теореме косинусов в треугольнике АМС:
МС²=АМ²+АС²-2*АМ*АС*CosA = 36+576-2*12*0,6875=414.
По теореме косинусов в треугольнике КМС:
CosK = (MK²+KC²-MC²)/(2*MK*KC) = (64+196-414)/224=-0,6875.
Мы видим, что косинусы углов А и К в четырехугольнике АМКС отличаются только знаком. Следовательно, они в сумме равны 180°, а это значит, что около четырехугольника АМКС можно описать окружность и притом ТОЛЬКО ОДНУ.
Что и требовалось доказать.
Значит, чтобы найти радиус этой окружности, достаточно найти радиус описанной окружности любого из треугольников АМС или КМС.
Найдем радиус описанной окружности треугольника АМС по теореме
синусов :
МС/SinA = 2R.
SinA=√(1-Cos²A) = √(1-0,6875²) ≈ 0,726.
R=MC/2*SinA = √414/(2*0,726) ≈ 14 ед.
Ответ: R=14 ед.