В глаголе обожа́ю (форма начальная – обожа́ть) две орфограммы (обе относятся к орфограммам-буквам): безударные гласные О в корне ОБОЖА-.
Как бы мы ни подбирали слова родственные (обожание, обожатель, шутливое обожаться, обожаемый), как бы ни меняли форму самого исходного глагола (обожаешь, обожайте, обожал бы и пр.), эти безударные гласные поставить под ударение не удаётся. Следовательно, слово данное словарное и обе гласные буквочки О в его корне необходимо запомнить, а в случае затруднения, как нам рекомендуют учителя и учебники, открыть словарь орфографический (а можно и любой толковый) и посмотреть его написание.
Вместе с тем людям с плохой зрительной, но хорошей ассоциативной памятью можно обратиться к происхождению данного глагола и его историческому членению на морфемы. И в этом нам помогут справочники этимологические. Заглянув в словари Крылова и Шанского, мы узнаем следующее:
- у данного глагола значение «любить страстно кого-то, что-то» вторично;
- изначально он употреблялся в значении «почитать, любить как бога»;
- образован данный глагол префиксально-суффиксальным способом (префикс – О-, суффикс инфинитива -А-);
- О-БОЖ-А-ТЬ (О-БОЖ-А-Ю) – таково историческое членение инфинитива и названной Вами его словоформы (нынче произошло упрощение основы, мы выделяем в ней лишь корень ОБОЖА-, ибо непосредственная связь с лексемой БОГ, которая дала жизнь названному глаголу, была утрачена в результате переосмысления его семантики, то бишь значения).
Делаем такие выводы:
- ИСТОРИЧЕСКИ вторую гласную корня в глаголе ОБОЖАЮ можно проверить словами БОГ, БО́ЖЕ, БО́ЖЕНЬКА;
- первая гласная нынешнего корня ИСТОРИЧЕСКИ была приставкой.
Конечно, есть и приставка А-, но она:
- иноязычная и употребляется в словах заимствованных;
- синонимична нашим приставкам НЕ- и БЕЗ- (алогичный – нелогичный; аморальный – безнравственный).
Русская приставка О-, выделявшаяся изначально в глаголе ОБОЖАТЬ (ОБОЖАЮ), многозначна и в этом глаголе (тогда, когда она выделялась) имела совсем иное значение: распространение действия на предмет (в данном случае на человека, которого следует почитать и любить как бога). А безударную приставку можно проверить этой же приставкой, но ударной, пусть даже в слове с иным корнем, например: о́пись, о́клик.
Так этимологический словарь помог нам произвести историческую проверку безударных гласных.
P.S. Ради объективности добавлю, что Викисловарь (а он меня тоже часто выручает, только пользоваться им надо осторожно: не всему верить) и сейчас выделяет в глаголе ОБОЖАТЬ приставку О- и суффикс -А-, пример употребления данного глагола в значении ОБОЖЕСТВЛЯТЬ тоже приводит:
Думаю, что безымянный автор данной статьи неправ и данная цитата показывает только одно: ещё во времена Карамзина и Пушкина основа глагола ОБОЖАТЬ была более сложной, чем нынче. Но в языке современном у глагола ОБОЖАТЬ нет значения «уподоблять богу» (это архаизм), нет вообще семантической связи со словом БОГ, а это значит, прав Тихонов, скриншот странички словаря коего есть в моём ответе.